Consistência relativa da AF e algumas teorias de tipos

Para uma teoria de tipos, por consistência, quero dizer que ela tem um tipo que não é habitado. Da forte normalização do cubo lambda, segue-se que o sistema $F$ e o sistema $F_\omega$ são consistentes. Os tipos indutivos de MLTT + também têm uma prova de normalização. No entanto, todos eles devem ser poderosos o suficiente para construir um modelo de AF, o que prova que a AF é consistente com essas teorias. O sistema $F$ é bastante poderoso , portanto, espero que seja capaz de provar a consistência do PA construindo um modelo usando números da Igreja. O MLTT + IT possui um tipo indutivo de números naturais e também deve provar consistência.

Tudo isso implica que as provas de normalização para essas teorias não podem ser internalizadas no PA. Então:

1. Os sistemas $F$ , $F_\omega$ e MLTT + IT podem realmente provar a consistência do PA?
2. Se puderem, que metateoria é necessária para provar a normalização do sistema $F$ , $F_\omega$ e MLTT + IT?
3. Existe uma boa referência para a teoria da prova das teorias de tipos em geral ou para algumas dessas teorias em particular?

A resposta curta para sua pergunta 1 é não , mas talvez por razões sutis.

Em primeiro lugar, Sistema e F ω não pode expressar a teoria de primeira ordem da aritmética , e ainda menos a consistência de P A .$F$$F_\omega$ $\mathrm{PA}$

Em segundo lugar, e este é realmente surpreendente, pode realmente provar a consistência de ambos os sistemas! Isso é feito usando o chamado modelo irrelevante para prova , que interpreta tipos como conjuntos ∈ { ∅ , { ∙ } } , onde ∙ é algum elemento fictício que representa um habitante de um tipo não vazio. Então um pode escrever regras simples para a operação do → e ∀ em tais tipos bastante facilidade para obter um modelo de sistema F , no qual o tipo ∀ X . X é interpretado por $\mathrm{PA}$$\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$$\bullet$$\rightarrow$$\forall$$F$$\forall X.X$$\varnothing$. Pode-se fazer uma coisa semelhante para , usando um pouco mais de cuidado para interpretar tipos superiores como espaços de funções finitas.$F_\omega$

Há um aparente paradoxo aqui, onde pode provar a consistência desses sistemas aparentemente poderoso, mas não (como eu vou mostrar em um momento) normalização.$\mathrm{PA}$

$p$$\phi$ϕ p p ⊮ $p\Vdash \phi$$\phi$$p$$p\not\Vdash\bot$

Teorema: Se é um teorema de aritmética de 2ª ordem , existe algum termo fechado do sistema tal queP A 2 t F t ⊩ $\phi$$\mathrm{PA}_2$$t$$F$

$$t\Vdash\phi$$

Esse teorema pode ser comprovado em e, portanto, temos e o argumento de Gödel se aplica (e não pode provar a normalização do sistema ). É útil notar que a implicação inversa mantém bem, por isso temos uma caracterização exata do poder prova teórica necessária para provar normalização do sistema .P A ⊢ F  está normalizando ⇒ P A 2  é consistente P A F $\mathrm{PA}$

Existe uma história semelhante para o sistema , que, acredito, corresponde a uma maior aritmética .P A$F_\omega$$\mathrm{PA}_\omega$

Finalmente, temos o caso complicado do MLTT com tipos indutivos. Aqui, novamente, surge uma questão um tanto sutil. Certamente aqui podemos expressar a consistência de , para que isso não seja um problema e não exista um modelo irrelevante à prova, pois podemos provar que o tipo possui pelo menos 2 elementos (um quantidade infinita de elementos distintos, de fato).N a $\mathrm{PA}$$\mathrm{Nat}$

No entanto, encontramos um fato surpreendente de teorias intuicionistas de ordem superior: , a versão de ordem superior do Heyting Arithmetic é conservadora em relação a ! Em particular, não podemos provar a consistência de , (que é equivalente à de ). Uma razão intuitiva para isso é que os espaços funcionais intuicionistas não permitem quantificar sobre o subconjunto arbitrário de , pois todas as funções definíveis devem ser computáveis.H A P A H A N N →$\mathrm{HA}_\omega$$\mathrm{HA}$$\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

Em particular, não acho que você possa provar a consistência de se adicionar apenas números naturais ao MLTT sem universos. Eu acredito que adicionar universos ou tipos indutivos "mais fortes" (como tipos ordinais) dará a você poder suficiente, mas receio não ter nenhuma referência para isso. Com universos, o argumento parece bastante simples, já que você tem teoria dos conjuntos suficiente para construir um modelo de .H $\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$

Finalmente, referências para a teoria da prova de sistemas de tipos: acho que há realmente uma lacuna na literatura, e eu gostaria de um tratamento limpo de todos esses assuntos (na verdade, eu sonho em escrever isso algum dia!). Enquanto isso:

• O modelo à prova de irrelevância é explicado aqui por Miquel e Werner, embora o façam para o Cálculo de Construções, o que complica um pouco as coisas.

• O argumento da realização é esboçado nas provas e tipos clássicos de Girard, Taylor e Lafont. Eu acho que eles também esboçam o modelo à prova de irrelevante, além de muitas coisas úteis. É provavelmente a primeira referência a ler.

• O argumento da conservatividade da aritmética Heyting de ordem superior pode ser encontrado no indescritível segundo volume do Construtivismo em Matemática por Troelstra e van Dalen (veja aqui ). Ambos os volumes são extremamente informativos, mas bastante difíceis de ler para um novato, IMHO. Também evita, de certa forma, assuntos da teoria do tipo "moderno", o que não é surpreendente, dada a idade dos livros.

Uma pergunta adicional nos comentários foi sobre a força exata da consistência / força da normalização dos MLTT + Indutivos. Não tenho uma resposta precisa aqui, mas certamente a resposta depende do número de universos e da natureza das famílias indutivas permitidas. Rathjen explora essa questão no excelente artigo A força de algumas teorias de Martin-Lof Type .

Na normalização errada, a idéia básica é que, para 2 teorias e , tivermos L P A ⊢ C o n ( t ) ⇒ C o n ( L$\cal{T}$$\cal{U}$

então geralmente

onde 1- é 1 consistência e é normalização (fraca).N O r $\mathrm{Con}$$\mathrm{Norm}$

MLTT + o tipo de números naturais (e recursão) é uma extensão conservadora de , comprovada nos Modelos Recursivos de Besson para Teorias Construtivas de Conjuntos .$\mathrm{HA}_\omega$

Quanto ao MLTT com indução-recursão ou indução-indução, não sei qual é a situação, e AFAIK, o problema da força exata da consistência ainda está aberto.