Números naturais não comparáveis

O "nome do jogo com o maior número" pede a dois jogadores que anotem um número secretamente, e o vencedor é a pessoa que anotou o número maior. O jogo geralmente permite que os jogadores anotem as funções avaliadas em um ponto, então $2^{2^{2^{2}}}$ também seria aceitável.

O valor da função Busy Beaver, $BB(x)$ , não pode ser determinado (no ZFC, ou em qualquer sistema axiomático consistente e razoável) para valores grandes de $x$ . Em particular, $BB(10^4)$ não pode ser determinado de acordo com este artigo . No entanto, isso não significa que não possamos comparar valores da função Busy Beaver. Por exemplo, podemos provar que $BB(x)$ é estritamente monotônico .

Vamos supor que permitimos que os jogadores anotem expressões envolvendo composições de funções elementares, números naturais e a função Busy Beaver. Existem duas expressões que os dois jogadores podem escrever para que possamos provar no ZFC que determinar o vencedor no ZFC é impossível (supondo que o ZFC seja consistente)?

Edição: Originalmente, esta pergunta dizia "... combinações arbitrárias de funções computáveis, números naturais e a função Busy Beaver".

Se deixarmos $f(x)$ assumir o valor de $3$ se $BB(x) >$ [algo incrivelmente grande e inexprimível neste site] e $7$ se não for, então $f(10^4)$ e $6$ são incomparáveis.

Isso não me satisfaz, principalmente porque $f$ não é uma função razoável para alguém usar neste jogo. No entanto, não vejo como expressar minha intuição sobre isso, então restringi a pergunta para evitar funções fragmentadas.

$B$$\Phi$$\iff$ $\Phi$$B$$\neg$$\iff$ $\Phi$

$\Phi$$B(m_i)=n_i$$1\le i\le k$

$m_i$$n_i$