Quando os espaços de coerência têm retrocessos e empurrões?

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Uma relação de coerência X em um conjunto X é uma relação reflexiva e simétrica. Um espaço de coerência é um par (X,X) , e um morfismo f:XY entre espaços de coerência é uma relação fX×Y tal que para todos (x,y)f e (x,y)f ,

  1. se xXx então yYy e
  2. se xXx e y=y então x=x .

A categoria de espaços de coerência é fechada cartesiana e monoidalmente. Gostaria de saber quando existem pullbacks ou pushouts para esta categoria e quando existe algum análogo monoidal de pullbacks ou pushout (e como defini-lo, caso essa noção faça sentido).

Neel Krishnaswami
fonte
De onde é essa definição? O de Girard, Lafont & Taylor parece muito diferente.
Charles Stewart
As duas definições são equivalentes. Estou apenas tomando a web como primitiva, da qual o conjunto de panelinhas pode ser derivado.
Neel Krishnaswami
Acho que a escolha de definição de Neel é muito mais compreensível que a original.
Dave Clarke
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Afirmo a pergunta óbvia: você sabe que elas nem sempre existem? Em outras palavras, você conhece algum exemplo de um functor em relações de coerência que não tem limite / colimit?
Ohad Kammar
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As duas definições são equivalentes - Certo, mas você criou essa definição ou conseguiu de outra pessoa? Ótima pergunta, aliás, estou surpreso que ninguém parece saber se sempre existem equalizadores.
Charles Stewart

Respostas:

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Agora vejo como definir equalizadores para espaços de coerência, o que significa que sempre existem retrocessos (uma vez que os produtos existem). Eu não sei como fazer isso, na verdade ....

Lembre-se de que a composição é a composição relacional usual; portanto, se e , então:f:ABg:BC

f;g={(a,c)A×C|bB.(a,b)f(b,c)g}

(Nesta definição, o existencial realmente implica existência única . Suponha que temos modo que e . Desde que sabemos que , isso significa que'em seguida, isto significa que temos e e , por isso, consequentemente, ).bB(a,b)f(b,c)gaAabBbbBb(b,c)g(b,c)gb=b

Agora construímos equalizadores. Suponha que temos espaços coerentes e , e morphisms . Agora defina o equalizador seguinte maneira.ABf,g:AB(E,e:EA)

  1. Para a web, pegue Seleciona o subconjunto de tokens de com o qual e concordam (de acordo com a coerência - eu estava errado na minha primeira versão ) ou estão indefinidos.

    E={b.(a,b)faAa.(a,b)gaAb.(a,b)gaAa.(a,b)f}
    Afg
  2. Defina a relação de coerência em . Isto é apenas a limitação da relação coerência sobre ao subconjunto . Isso será reflexivo e simétrico, pois é.E={(a,a)A|aEaE}AEA

  3. O mapa do equalizador é apenas a diagonal .ee:EA={(a,a)|aE}

Desde que estraguei minha primeira versão da prova, darei a propriedade de universalidade explicitamente. Suponha que tenhamos qualquer outro objeto e morfismo tal que .Xm:XAm;f=m;g

Agora defina como . Obviamente , mas para mostrar a igualdade, precisamos mostrar o inverso .h:XE{(x,a)|aE}h;immh;i

Portanto, assuma . Agora precisamos mostrar que e .(x,a)mb.(a,b)faAa.(a,b)gb.(a,b)gaAa.(a,b)f

Primeiro, assuma e . Então sabemos que e , então . Portanto , e então existe um tal que e . Como , conhecemos e, portanto, existe um tal que .bB(a,b)f(x,a)m(a,b)f(x,b)m;f(x,b)m;gaA(x,a)m(a,b)gxxaaaa(a,b)g

Simetricamente, assuma e . Então sabemos que e , então . Portanto , e então existe um tal que e . Como , conhecemos e, portanto, existe um tal que .bB(a,b)g(x,a)m(a,b)g(x,b)m;g(x,b)m;faA(x,a)m(a,b)fxxaaaa(a,b)f

Neel Krishnaswami
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Não vejo como você pode provar que universal. Existe apenas uma maneira de fatorar qualquer , e isso é configurando como . Obviamente , mas não vejo por que o inverso se mantém: tome alguns e alguns , com . Então temos , portanto, a partir da escolha de , temos . A partir da definição de composição, existem alguns tal que e . Podemos deduzir queem:XAh:XEh:={(x,a):(x,a)m,aE}h;emxmabBafbx(m;f)bmx(m;g)baxmaagba\sympa, mas sabemos apenas que e , por isso não podemos deduzir realmente que e concluir. afbagba=a
Ohad Kammar
Sim, você está certo - o subconjunto escolhido pelo equalizador deve ser coerente e não igual. Alterei a definição para refletir isso e, como prova, o diagrama alterna explicitamente.
Neel Krishnaswami
Ah ... Mas agora não iguala o diagrama. De fato, assuma . Então, por 'definição s, temos , portanto, existe algum tal que . Mas não temos esse , portanto não podemos mostrar que . Você parece estar enfrentando os mesmos problemas que encontrei na noite passada, daí a minha pergunta óbvia acima. Mas talvez você tenha sucesso onde eu falhei! Meu próximo passo foi tomar um mais sofisticado , diga algo como , mas, em seguida, não é um morphism válida, de modo algum escolha mais cuidadosa é necessária.ea(e;f)beafba\sympaagbaeaa(e;g)beaeaa\sympae
Ohad Kammar
Agora me lembro por que eu esperava que a resposta já estivesse na tese de alguém. :) Enfim, vou pensar mais sobre isso - pode haver algum truque possível pelo fato de as imagens inversas serem incoerentes aos pares.
Neel Krishnaswami