Quando os espaços de coerência têm retrocessos e empurrões?

$\newcommand{\symp}{\Bumpeq}$

Uma relação de coerência $\symp_X$ em um conjunto $X$ é uma relação reflexiva e simétrica. Um espaço de coerência é um par $(X, \symp_X)$ , e um morfismo $f : X \to Y$ entre espaços de coerência é uma relação $f \subseteq X \times Y$ tal que para todos $(x,y) \in f$ e $(x',y') \in f$ ,

1. se $x \symp_X x'$ então $y \symp_Y y'$ e
2. se $x \symp_X x'$ e $y = y'$ então $x = x'$ .

A categoria de espaços de coerência é fechada cartesiana e monoidalmente. Gostaria de saber quando existem pullbacks ou pushouts para esta categoria e quando existe algum análogo monoidal de pullbacks ou pushout (e como defini-lo, caso essa noção faça sentido).

Agora vejo como definir equalizadores para espaços de coerência, o que significa que sempre existem retrocessos (uma vez que os produtos existem). Eu não sei como fazer isso, na verdade ....

Lembre-se de que a composição é a composição relacional usual; portanto, se e , então:$f : A \to B$$g : B \to C$

$f ; g = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists b \in B.\; (a,b) \in f \land (b,c) \in g\}$

(Nesta definição, o existencial realmente implica existência única . Suponha que temos modo que e . Desde que sabemos que , isso significa que'em seguida, isto significa que temos e e , por isso, consequentemente, ).$b' \in B$$(a,b') \in f$$(b', c) \in g$$a \Bumpeq_A a$$b \Bumpeq_B b'$$b \Bumpeq_B b'$$(b,c) \in g$$(b',c) \in g$$b = b'$

Agora construímos equalizadores. Suponha que temos espaços coerentes e , e morphisms . Agora defina o equalizador seguinte maneira.$A$$B$$f, g : A \to B$$(E, e : E \to A)$

1. Para a web, pegue Seleciona o subconjunto de tokens de com o qual e concordam (de acordo com a coerência - eu estava errado na minha primeira versão ) ou estão indefinidos.

   $$E = \left\{ \begin{array}{l|c} & \forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g \\ a \in A & \land \\ & \forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f \\ \end{array} \right\}$$ $A$$f$$g$

2. Defina a relação de coerência em . Isto é apenas a limitação da relação coerência sobre ao subconjunto . Isso será reflexivo e simétrico, pois é.$\Bumpeq_E = \{ (a,a') \in \Bumpeq_A \;|\; a \in E \land a' \in E\}$$A$$E$$\Bumpeq_A$

3. O mapa do equalizador é apenas a diagonal .$e$$e : E \to A = \{(a, a)\;|\;a \in E\}$

Desde que estraguei minha primeira versão da prova, darei a propriedade de universalidade explicitamente. Suponha que tenhamos qualquer outro objeto e morfismo tal que .$X$$m : X \to A$$m;f = m;g$

Agora defina como . Obviamente , mas para mostrar a igualdade, precisamos mostrar o inverso .$h : X \to E$$\{(x,a) \;|\; a \in E\}$$h;i \subseteq m$$m \subseteq h;i$

Portanto, assuma . Agora precisamos mostrar que e .$(x,a) \in m$$\forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g$$\forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f$

Primeiro, assuma e . Então sabemos que e , então . Portanto , e então existe um tal que e . Como , conhecemos e, portanto, existe um tal que .$b \in B$$(a,b) \in f$$(x,a) \in m$$(a,b) \in f$$(x,b) \in m;f$$(x,b) \in m;g$$a' \in A$$(x,a') \in m$$(a',b) \in g$$x \Bumpeq x$$a \Bumpeq a'$$a' \Bumpeq a$$(a',b) \in g$

Simetricamente, assuma e . Então sabemos que e , então . Portanto , e então existe um tal que e . Como , conhecemos e, portanto, existe um tal que .$b \in B$$(a,b) \in g$$(x,a) \in m$$(a,b) \in g$$(x,b) \in m;g$$(x,b) \in m;f$$a' \in A$$(x,a') \in m$$(a',b) \in f$$x \Bumpeq x$$a \Bumpeq a'$$a' \Bumpeq a$$(a',b) \in f$