Limitando a lacuna entre a complexidade da consulta quântica e determinística

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Embora sejam conhecidas separações exponenciais entre a complexidade da consulta quântica com erro limitado ( ) e a complexidade determinística da consulta ( ) ou a complexidade aleatória da consulta com erro limitado ( ), elas se aplicam apenas a determinadas funções parciais. Se as funções parciais tiverem estruturas especiais , elas também estarão relacionadas polinomialmente com . No entanto, estou mais preocupado com o total de funções.D ( f ) R ( f )Q(f)D(f)R(f)D(f)=O(Q(f)9))

Em um artigo clássico , foi mostrado que é delimitado por para funções totais, para funções totais monótonas e para funções totais simétricas. No entanto, não são conhecidas separações quadráticas superiores a esse tipo de função (essa separação é obtida por por exemplo). Tanto quanto eu entendo, a maioria das pessoas conjectura que, para funções totais, temos . Sob quais condições essa conjectura foi comprovada (além das funções simétricas)? Quais são os melhores limites atuais para a complexidade da árvore de decisão em termos de complexidade quântica de consultas para funções totais?O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2 ) O R D ( f ) = O ( Q ( f ) 2 )D(f)O(Q(f)6)O(Q(f)4)O(Q(f)2)ORD(f)=O(Q(f)2)

Artem Kaznatcheev
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Respostas:

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Até onde eu sei, os limites gerais que você declara são essencialmente os mais conhecidos. Mudando um pouco o modelo, Midrijanis mostrou o limite de que , onde é a complexidade exata da consulta quântica de ; também existem limites mais rígidos conhecidos em termos de erro unilateral (consulte a Seção 6 deste documento ).Q E ( f ) fD(f)=O(QE(f))3QE(f)f

Em termos de classes de funções mais específicas, mas ainda gerais, existe um artigo de Barnum e Saks que mostra que todas as funções de leitura única em variáveis ​​têm complexidade quântica de consultas .Ω ( nΩ(n)

Embora esse progresso tenha sido limitado, houve um progresso considerável no limite inferior da complexidade da consulta quântica de funções específicas ; veja este comentário para mais detalhes (ou, por exemplo, o mais recente papel de Reichardt, o que prova que a versão mais geral da '' adversário '' caracteriza vinculados quantum complexidade consulta).

Ashley Montanaro
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Gosto da resposta de Ashley Montanaro, mas pensei em incluir também um conjunto de funções pelas quais a conjectura é conhecida.

Um conjunto de funções que geralmente interessa são as funções com 1 certificado de tamanho constante. Essa classe de problemas inclui coisas como , distinção, colisão, localização de triângulos e muitos outros problemas (não pertencentes à família HSP) que demonstraram ter separações de complexidade de consulta.OR

Para uma função total 1 certificado de tamanho constante , temos .D ( f ) = O ( Q ( f ) 2 )fD(f)=O(Q(f)2)


Detalhes:

Um certificado para uma entrada é um subconjunto de bits modo que, para todas as entradas , . Então é o tamanho mínimo de um certificado para a entrada a complexidade de 1 certificado (A complexidade do certificado 0 é a mesma, mas restrita a ).S { 1 , . . . , N } y ( i SxS{1,...,n}yC x ( f ) x C 1 ( f ) = max x | f ( x ) = 1 C x ( f ) f ( x ) = 0(iSyi=xi)f(y)=f(x)Cx(f)xC1(f)=maxx|f(x)=1Cx(f)f(x)=0

Você pode mostrar que . Então você pode usar o algoritmo apresentado em Buhrman e de Wolf pesquisa para mostrar que:D(f)C1Q(f)bs(f)2C0(f)/2C1(f)+1D(f)C1(f)bs(f)C0(f)C1(f)

Artem Kaznatcheev
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Se restringirmos a atenção às propriedades do gráfico, podemos provar limites ligeiramente aprimorados em comparação com os limites gerais mencionados:

Em um artigo clássico , foi mostrado que é delimitado por para funções totais, para funções totais monótonas e para funções totais simétricas.O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2 )D(f)O(Q(f)6)O(Q(f)4)O(Q(f)2)

Primeiro, acho que o sexto limite de potência pode ser aprimorado para o quarto de potência nas propriedades do gráfico. Isto segue de [1], onde eles mostram que qualquer propriedade de gráfico tem complexidade de consulta pelo menos , onde é o tamanho da entrada, que é quadrático no número de vértices. É claro que a complexidade consulta clássica é no máximo .N NΩ(N1/4)NN

O quarto limite de energia para funções totais monotônicas pode ser aprimorado para o terceiro nível de potência em propriedades gráficas monótonas. Isso resulta de uma observação não publicada de Yao e Santha (mencionada em [2]) que todas as propriedades de gráficos monotônicos têm complexidade quântica de consultas .Ω(N1/3log1/6N)

[1] Sun, X .; Yao, AC .; Shengyu Zhang, "Propriedades gráficas e funções circulares: quão baixa pode ser a complexidade da consulta quântica?", Complexidade Computacional, 2004. Proceedings. 19a Conferência Anual da IEEE, vol., No., Pp.286.293, 21-24 de junho de 2004 doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Magniez, Frédéric; Santha, Miklos; Szegedy, Mario (2005), "Algoritmos quânticos para o problema do triângulo", Anais do décimo sexto simpósio anual do ACM-SIAM sobre algoritmos discretos, Vancouver, Colúmbia Britânica: Society for Industrial and Applied Mathematics, pp. 1109-1117, arXiv: quant -ph / 0310134.

Robin Kothari
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Muito progresso foi feito nessa questão em 2015.

Primeiro, em arXiv: 1506.04719 [cs.CC] , os autores melhoraram a separação quadrática, mostrando uma função total comf

Q(f)=O~(D(f)1/4).

Por outro lado, em arXiv: 1512.04016 [quant-ph] , foi demonstrado que a relação quadrática entre a complexidade da consulta quântica e determinística se mantém quando o domínio da função é muito pequeno.

Alessandro Cosentino
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