Às vezes, afirma-se que a Teoria da Complexidade Geométrica de Ketan Mulmuley é o único programa plausível para resolver as questões abertas da teoria da complexidade, como a questão P vs. NP. Houve vários comentários positivos de famosos teóricos da complexidade sobre o programa. Segundo Mulmuley, levará muito tempo para alcançar os resultados desejados. Não é fácil entrar na área para os teóricos da complexidade geral e precisa de esforços consideráveis para lidar com a geometria algébrica e a teoria da representação.
Por que o GCT é considerado capaz de resolver P vs. NP? Qual é o valor da reivindicação, caso se espere mais de 100 anos para chegar lá? Quais são suas vantagens para outras abordagens atuais e aquelas que podem aumentar nos próximos 100 anos?
Qual é o estado atual do programa?
Qual é o próximo objetivo do programa?
Houve alguma crítica fundamental ao programa?
Eu preferiria respostas que sejam compreensíveis por um teórico da complexidade geral com o mínimo de experiência em geometria algébrica e teoria da representação assumida.
Respostas:
Como apontado por muitos outros, já foi dito muito sobre muitas dessas perguntas por Mulmuley, Regan e outros. Vou oferecer aqui apenas um breve resumo do que acho que são alguns pontos-chave que ainda não foram mencionados nos comentários.
Por que o TCG é considerado plausivelmente capaz de mostrar muitas respostas já foram dadas em outros lugares e nos comentários acima, embora eu ache que ninguém ainda tenha mencionado que parece evitar as barreiras conhecidas (relativização, algebrização, provas naturais ) Quanto ao seu valor - acho que, mesmo que demore 100 anos, aprenderemos algo novo sobre complexidade ao longo do caminho, estudando-a desse ângulo.P≠ NP
Algum progresso está sendo feito no entendimento das variedades algébricas, das representações e das questões algorítmicas que surgem no TCG. Os principais pesquisadores que conheço que fizeram trabalhos sobre isso são (em nenhuma ordem específica): P. Burgisser, C. Ikenmeyer, M. Christandl, JM Landsberg, KV Subrahmanyan, J. Blasiak, L. Manivel, N. Ressayre, J. Weyman, V. Popov, N. Kayal, S. Kumar e, é claro, K. Mulmuley e M. Sohoni.
Mais concretamente, Burgisser e Ikenmeyer acabaram de apresentar (STOC 2011) alguns limites inferiores modestos na multiplicação de matrizes usando a abordagem GCT ( , em comparação com o atualmente mais conhecidon2+ 2 32n2+ O ( n )
N. Kayal tem alguns artigos sobre a questão algorítmica de teste quando um polinômio está na órbita de outro ou é uma projeção de outro. Ele mostra que, em geral, esses problemas são difíceis de NP, mas que, para funções especiais como polinômios simétricos permanentes, determinantes e elementares, esses problemas são decidíveis em P. Este é um passo em direção a algumas das conjecturas de Mulmuley (que certos problemas mais difíceis - decidir órbita encerramento - estão em P para funções especiais, como determinante).
Eu não tenho muito mais específico a dizer sobre isso do que a resposta para 2.
Até onde eu sei, não houve críticas fundamentais , no sentido de que não vi nenhuma crítica que realmente desacredite o programa de forma alguma. Certamente houve discussões sobre o porquê de tais técnicas serem necessárias, o valor do programa, considerando os longos horizontes esperados, etc., mas eu os caracterizaria mais como uma discussão saudável do que uma crítica fundamental.
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Penso que este artigo de Ketan D. Mulmuley responderá pelo menos à pergunta 1 (possivelmente 2) Sobre P vs. NP e Teoria da Complexidade Geométrica
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