Exemplos de semicondutores da teoria formal da linguagem

Estou aprendendo a teoria algébrica da análise. Meu primeiro problema é identificar exemplos de semicondutores específicos da teoria formal da linguagem. Aqui está uma tentativa de construir dois exemplos.

1 Dada a gramática CNF, os elementos de semiring são conjuntos de símbolos terminais e não terminais com as operações:

i) Multiplicação , unindo os dois conjuntos em pares, de acordo com a regra CYK. Por exemplo, gramática dada pela CNF

s: p p | q r
t: p q
u: q q

então

$\{p,q,r\}\otimes \{p,r\} = \{s,t\}$

ii) A adição é definida como união, por exemplo

$\{p,q\}\oplus \{q,r\} = \{p,q,r\}$

Infelizmente, a multiplicação não é associativa.

2 Os elementos do segundo semiring são conjuntos de símbolos não, mas regras gramaticais [não necessariamente no CNF] alteradas com a posição. As operações são

i) Multiplicação , juntando todos os pares de elementos correspondentes de acordo com a regra completa de Earley. Por exemplo, gramática dada pela CNF

s: p q r 
r: s t | u

então

$\{s: p \bullet q r,s: p q \bullet r\}\otimes \{r: u \bullet \} = \{s: p q r \bullet \}$

ii) A adição é novamente a união estabelecida, por exemplo

$\{s: p \bullet q r, r: \bullet s t\}\oplus \{r: u \bullet \} = \{s: p \bullet q r, r: \bullet s t, r: u \bullet\}$

Este exemplo também é deficiente.

Semirrar com elementos sendo conjuntos de regras gramaticais e multiplicação sendo substituição de regras parece funcionar bem. No entanto, isso é apenas relação álgebra disfarçada. De fato, vamos ver cada regra gramatical como uma classe de equivalência - um conjunto de pares de palavras que consistem em letras terminais e não terminais relacionadas à aplicação da regra, por exemplo

$[t : s a] = \{ (t,sa),(ta,saa),(bt,bsa),(abt,absa),... \}$

Então, o reconhecimento de uma palavra em uma gramática é uma cadeia de composições relacionais, por exemplo

$[t:sa] \otimes [s:aa] \otimes \{(aaa,aaa)\} = \{(t,aaa)\}$

(Esse monômio lembra o polinômio do analisador de semiring da tese de doutorado de Josh Goodman; no entanto, vamos reiterar que a construção de novos semirings usando polinômios e matrizes não é do nosso interesse aqui).

Assim, a questão permanece: é o semianel de linguagens formais sobre alfabeto o único exemplo? $\Sigma$

Existem muitas semi-lições relacionadas à teoria da linguagem. Primeiro de tudo, o semicondutor booleano. Em seguida, qualquer classe de idiomas encerrada sob produto de união finita e (concatenação) é uma subsemulsão da semicondução de todos os idiomas. Por exemplo, as linguagens racionais (= regulares) formam uma semicondução. Veja também a noção relacionada de álgebra de Kleene .

O matrizes sobre um semianel Do formar uma semiring. Em particular, as matrizes sobre o semicondutor booleano codificam autômatos finitos não determinísticos e as matrizes sobre o semicondutor ligeiramente maior$k \times k$$\{-\infty, 0, 1\}$

$(\mathbb{N} \cup \{+\infty\}, \min, +)$$(\mathbb{N} \cup \{-\infty\}, \max, +)$

Diversão com Semirings: Uma pérola funcional sobre o abuso da álgebra linear

Análise eficiente de divisão e conquista de linguagens livres de contexto

$S\otimes_{p,k} T = S \cup \bigcup (Y: \bullet \gamma$ , k) $ tal que a união é sobre todas as regras relevantemente existentes. Em seguida, o algoritmo calcula primeiro o primeiro estado de Earley definido como um produto infinito, mas eventualmente repetido (tão finito) no operador:

$S(0) = \bigotimes_{p,0}^{\infty} S_0(0)$