O "docker run" realmente SSH no contêiner?

Não, não há SSH envolvido. O Docker usa uma tecnologia chamada namespaces para fornecer o espaço de trabalho isolado chamado container. docs.docker.com/engine/docker-overview/#namespaces

@oryades você deve pensar em transformar esse comentário em uma resposta IMHO.

Como observação lateral, na maioria dos casos, você deseja, em docker run -it --rm ubuntu su -vez de executar o bash. A execução su - simula um login completo e, como resultado, inicializa algumas variáveis ​​de ambiente, como TERM.