Por que o fator martingale é um martingale na Decomposição de Avaliação Dinâmica de 2012 de Hansen?

Nesta questão, continuo a explorar as ferramentas utilizadas / apresentadas no artigo da Econometrica de Lars Hansen "Decomposição de Valoração Dinâmica em Economias Estocásticas" (2012).

Esta pode ser uma pergunta fácil, mas não consigo ver. No artigo acima, a fatoração é apresentada em que um componente é um martingale. Veja p. 937. Nesta página apresenta esta fórmula e diz

Dada uma solução para (21), eu construo um martingale via que é em si um funcional multiplicativo.
${\tilde{M}}_{t} = \exp (- ρ t) M_{t} [\frac{e (X_{t})}{e (X_{0})}]$ $\widetilde M_t = \exp(-\rho t) M_t \left [ \frac{e(X_t)}{e(X_0)} \right ]$

Talvez seja fácil, mas eu simplesmente não consigo ver imediatamente como mostrar que é um martingale. Como posso mostrar isso? $\widetilde M_t$

NOTA: Esta questão está relacionada às duas perguntas a seguir:

econometrics finance time-series martingales jmbejara
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Respostas:

$e$

\begin{aligned} E [\frac{M_{t + 1}}{M_{t}} e (X_{t + 1}) | X_{t} = x] & = e (x) \exp (η) \\ E [\frac{M_{t + 1}}{M_{t}} \frac{e (X_{t + 1})}{e (X_{t})} \exp (- η) | X_{t} = x] & = 1 \\ E [\frac{{\tilde{M}}_{t + 1}}{{\tilde{M}}_{t}} | F_{t}] & = 1 \\ E [{\tilde{M}}_{t + 1} | F_{t}] & = {\tilde{M}}_{t} . \end{aligned}

$\begin{align} E \left[\frac{M_{t+1}}{M_t} e(X_{t+1}) \middle | X_t = x \right] &= e(x) \exp(\eta) \\ E \left[\frac{M_{t+1}}{M_t} \frac{e(X_{t+1})}{e(X_t)} \exp(-\eta) \middle | X_t = x \right] &= 1 \\ E \left[\frac{\widetilde M_{t+1}}{\widetilde M_t} \middle | \mathcal F_t \right] &= 1 \\ E \left[\widetilde M_{t+1} \middle | \mathcal F_t \right] &= \widetilde M_t. \end{align}$

$\widetilde M_t$

jmbejara
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