Pressuposto de normalidade de log na precificação de ativos com base no consumo

Considere um problema de maximização do consumidor representativo de tempo discreto muito básico com o utilitário CRRA. Existe um ativo de risco com o tempo preço que paga o tempo dividendo e um ativo sem risco com preço que paga uma recompensa constante 1 em . Assumimos que os dividendos são uma sequência de variáveis aleatórias que seguem um processo de Markov. Suponha ainda que o consumidor não tenha outros fluxos de renda (ou seja, ). No momento t, o consumidor investe quantia no ativo de risco e quantia no ativo sem risco. Portanto, o problema de maximização pode ser declarado como $t$ $p_t$ $t+1$ $d_{t+1}$ $p_t^f$ $t+1$ $y_t = 0 \ \forall t$ $\pi_t$ $\pi_t^0$

\begin{aligned} max_{{c_{t}, π}_{0}^{\infty}} E_{0} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ s . t & c_{t} + π_{t} p_{t} + π_{t}^{0} p_{t}^{0} = (d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} \\ c_{t} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

Digamos que queremos encontrar a taxa sem risco de equilíbrio e o prêmio de capital esperado. Para fechar o modelo, é frequentemente assumido o pressuposto (consulte, por exemplo, o livro 8.3 de Teoria de Precificação de Ativos Financeiros, livro de Claus Munk ) que o crescimento do consumo de log e os retornos brutos de risco log são normalmente distribuídos em conjunto. Ou seja,

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

onde os retornos brutos são definidos como

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

O que não entendo completamente é de onde vêm as suposições de distribuição normal de log ". Sei que, como se trata de uma economia representativa do agente, o consumo do agente deve ser igual ao dividendo agregado da economia. Mas como assumimos que não há renda, o $y_t = 0 \ \forall t$ dividendo exógeno na economia é $d_t$ e, portanto, deve ter a mesma distribuição que o crescimento do consumo. No entanto, minha impressão é que, quando dizemos que a taxa de risco tem distribuição log-normal, isso realmente significa o processo de dividendos, pois é a 'parte aleatória' na definição de retornos (preço $p_{t+1}$ não é exógeno, mas é determinado dentro do modelo). Para mim, parece que agora fizemos duas suposições diferentes sobre o mesmo processo de doação . De onde vem a suposição de consumo ou o que ela representa? Como a situação mudaria se o consumidor tivesse algum fluxo de renda ? $d_t$ $y_t > 0$

macroeconomics consumer-theory asset-pricing vvv
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Respostas:

O típico lagrangiano de dois períodos é

Λ = β^{t} \cdot (\frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t} \cdot [(d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} - c_{t} - π_{t} p_{t} - π_{t}^{0} p_{t}^{0}]) + β^{t + 1} \cdot (\frac{c_{t + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t + 1} \cdot [(d_{t + 1} + p_{t + 1}) π_{t} + π_{t}^{0} - c_{t + 1} - π_{t + 1} p_{t + 1} - π_{t + 1}^{0} p_{t + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

As condições de primeira ordem em relação a são $c_t, \pi_t$

\begin{matrix} (1) & c_{t}^{- γ} = λ_{t} ⟹ . . . γ \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{t} λ_{t} p_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} (d_{t + 1} + p_{t + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = β \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

e assim, usando também a definição do retorno bruto,

\begin{matrix} (3) & \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \ln β + \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

Combinando e obtemos $(1)$ $(3)$

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

Portanto, vemos que, no caminho ideal, o crescimento do consumo é uma função afim direta dos retornos do risco logarítmico. Isso entre outras coisas implica que seu coeficiente de correlação é igual à unidade.

A distribuição normal é fechada sob transformações afins (alternativamente, sob escala e deslocamento); portanto, se assumirmos que os retornos de risco log são normalmente distribuídos, o crescimento do consumo também é normalmente distribuído (com média e variação diferentes, é claro).

Note-se que, embora em geral, a suposição de normalidade da articulação seja uma adicional a ser feita quando duas variáveis aleatórias normais não são independentes, aqui, o fato de uma ser uma função afim da outra garante a normalidade da articulação. Pela condição de Cramer para a normalidade bivariada, deve ser o caso em que todas as combinações lineares de duas variáveis aleatórias normais têm uma distribuição normal univariada. No nosso caso, temos (notação genérica) a variável aleatória e a variável aleatória . Considerar $Y$ $X = a+bY$

δ_{1} X + δ_{2} Y = δ_{1} (a + b Y) + δ_{2} Y = δ_{1} a + (δ_{1} b + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

Portanto, para qualquer (exceto o vetor zero que é excluído a priori), segue uma distribuição normal, se fizer. Portanto, é suficiente supor que os retornos de risco log seguem uma distribuição normal para obter também a normalidade da articulação. $(\delta_1, \delta_2)$ $\delta_1X + \delta_2 Y$ $Y$

Alecos Papadopoulos
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Esta é uma resposta antiga, mas, como afirmado, esta resposta é falsa. Você deve ter cuidado ao usar multiplicadores Lagrange na presença de elementos estocásticos. Se você fizer o cálculo corretamente, você acaba apenas com a equação padrão de preço de ativos - em seu cálculo, você perde a expectativa porque não está sendo cuidadoso com sua otimização. (Outra maneira de dizer isso é que o problema de otimização deve ter restrições em vez de , onde é o número de possíveis estados da natureza em período .)

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$

s + 1

$s+1$

2

$2$

s

$s$

t + 1

$t+1$

Starfall

@ Starfall Obrigado pela contribuição. Conteúdo antigo ou não, incorreto deve ser corrigido. Vou verificar a resposta novamente e ver o que posso fazer. À primeira vista, acho que você quer dizer que a covariância entre o multiplicador e os termos foi ignorada.

t + 1

$t+1$

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$

Alecos Papadopoulos

Não é apenas a covariância que foi ignorada - se esse fosse o único problema, você acabaria com , que relaciona apenas o valor esperado do fator de desconto com retornos esperados, enquanto sua resposta termina em , uma relação ex post entre o fator de desconto e os retornos que se mantém em todos os estados da natureza. O problema é simplesmente que você não pode usar multiplicadores Lagrange com variáveis estocásticas sem ser explícito sobre os diferentes estados da natureza no problema.

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$

m R = 1

$mR = 1$

Starfall

Caso a terminologia não esteja clara, , nesse problema .

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$

Starfall

@ Starfall hmm ... a questão aqui são as distribuições realmente seguidas, não a solução ex ante ... vou pensar e elaborar mais tarde.

Alecos Papadopoulos

Recentemente, produzi um artigo derivando a distribuição de retornos para todas as classes de ativos e passivos. O retorno normal do log aparece apenas em dois casos. O primeiro é com títulos de desconto de período único, o segundo com fusões em dinheiro por ações. Isso vem de uma suposição, acredito originalmente por Boness, de eliminar o problema em Markowitz dos preços infinitamente negativos. Embora tenha sido derivado logicamente, ele tem uma suposição crítica que geralmente o torna falso.

A maioria dos modelos financeiros assume que os parâmetros são conhecidos com probabilidade um. Você não precisa estimar com porque se supõe que seja conhecido. Na superfície, isso não é um problema, porque esta é a metodologia geral de métodos baseados em hipóteses nulas. Você afirma que um nulo é verdadeiro e, portanto, os parâmetros são conhecidos e um teste é feito contra esse nulo. $\mu$ $\bar{x}$

A dificuldade ocorre quando os parâmetros não são conhecidos. Acontece que a prova entra em colapso sem essa suposição, em geral. O mesmo vale para Black-Scholes. Estou apresentando um artigo na conferência SWFA nesta primavera, onde argumento que se as suposições da fórmula de Black-Scholes são literalmente verdadeiras, então não pode existir um estimador que converge para o parâmetro populacional. Todos assumiram que a fórmula com conhecimento perfeito era igual ao estimador de parâmetros. Ninguém nunca realmente verificou suas propriedades. Em seu trabalho inicial, Black e Scholes testaram empiricamente sua fórmula e relataram que não funcionava. Depois de abandonar a suposição de que os parâmetros são conhecidos, a matemática sai de maneira diferente. Diferente o suficiente para não ser capaz de pensar da mesma maneira.

Vamos considerar um caso de um valor mobiliário negociado na NYSE. É negociado em um leilão duplo para que a maldição do vencedor não seja obtida. Por esse , o comportamento racional é criar uma ordem limite cujo preço seja igual a . Existem muitos compradores e vendedores, portanto o livro de limite deve ser estaticamente normal ou, pelo menos, se tornará assim que o número de compradores e vendedores for ao infinito. Portanto, é estaticamente normal em relação a , o preço de equilíbrio. $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ $p_t$ $p_t^*$

Obviamente, a distribuição de . Se você ignorar dividendos e dividendos em ações, ele continuará existindo ou não existe. Portanto, é necessário criar uma distribuição de mistura para retornos de estoque para estoque, retornos de caixa para estoque e falência. Ignoraremos esses casos por simplicidade, embora isso exclua a capacidade de resolver um modelo de precificação de opções. $(q_t,q_{t+1})$

Portanto, se nos restringirmos a e assumirmos todos os dividendos, então nossos retornos serão a razão de dois normais sobre o equilíbrio. Estou excluindo dividendos porque eles criam uma confusão e estou excluindo casos como a crise financeira de 2008 porque você obtém um resultado estranho que consumiria página após página após página de texto. $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$

Agora simplifique nossa derivação, se convertermos nossos dados de para e definir podemos ver facilmente a distribuição. Na ausência de uma limitação no passivo ou de uma restrição orçamentária intertemporal, pelo teorema bem conhecido, a densidade dos retornos deve ser a distribuição de Cauchy, que não tem média nem variância. Quando você traduz tudo de volta ao espaço de preço, a densidade se torna $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ $(0,0)$ $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (r_{t} - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

Como não há meios, você não pode assumir expectativas, executar no teste ou F, usar qualquer forma de mínimos quadrados. Obviamente, isso seria diferente se fosse uma antiguidade.

Se fosse uma antiguidade em um leilão, a maldição do vencedor é obtida. O maior lance ganha o lance e a densidade limitante dos lances altos é a distribuição Gumbel. Então, você resolveria o mesmo problema, mas como a proporção de duas distribuições Gumbel em vez de duas distribuições normais.

O problema não é tão simples assim. A limitação de responsabilidade trunca todas as distribuições subjacentes. A restrição de orçamento intertemporal distorce todas as distribuições subjacentes. Existe uma distribuição diferente para dividendos, fusões por dinheiro, fusões por ações ou propriedades, falência e uma distribuição Cauchy truncada para as preocupações de continuidade, conforme acima. Existem seis tipos de distribuições presentes para títulos patrimoniais em uma mistura.

Mercados diferentes com regras diferentes e estados existenciais diferentes criam distribuições diferentes. Um vaso antigo tem o caso em que é derrubado e quebrado. Também tem o caso de desgaste ou alguma outra alteração na qualidade intrínseca. Finalmente, também se verifica que, se forem destruídos vasos semelhantes suficientes, o centro da localização se move.

Finalmente, devido ao truncamento e à falta de uma estatística suficiente para os parâmetros, não existe um estimador não Bayesiano computável e admissível.

Você pode encontrar uma derivação da proporção de duas variáveis normais e uma explicação em http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

Você também pode encontrar o que parece ser o primeiro artigo sobre o tópico em

Curtiss, JH (1941) Sobre a distribuição do quociente de duas variáveis de chance. Annals of Mathematics Statistics, 12, 409-421.

Há também um documento de acompanhamento em

Gurland, J. (1948) Fórmulas de inversão para a distribuição de proporções. Os Anais de Estatística Matemática, 19, 228-237

Para a forma autoregressiva dos métodos Likelihoodist e Frequentist em

White, JS (1958) A Distribuição Limitante do Coeficiente de Correlação Serial no Caso Explosivo. The Annals of Mathematics Statistics, 29, 1188-1197,

e sua generalização por Rao em

Rao, MM (1961) Consistência e distribuição limite de estimadores de parâmetros em equações de diferença estocástica explosiva. Os Anais de Estatística Matemática, 32, 195-218

Meu artigo leva esses quatro e outros papéis, como um de Koopman e outro de Jaynes, para construir as distribuições se os parâmetros verdadeiros forem desconhecidos. Observa que o Livro Branco acima tem uma interpretação bayesiana e permite uma solução bayesiana, mesmo que não exista uma solução não bayesiana.

Observe que tem uma média e variação finitas, mas nenhuma estrutura de covariância. A distribuição é a distribuição secante hiperbólica. Isso também ocorre por um resultado bem conhecido nas estatísticas. Realmente não pode ser uma distribuição secante hiperbólica por causa de casos paralelos, como falência, fusões e dividendos. Os casos existenciais são aditivos, mas o log implica erros multiplicativos. $\log(R)$

Você pode encontrar um artigo sobre a distribuição secante hiperbólica em

Ding, P. (2014) Três ocorrências da distribuição secante hiperbólica. The American Statistician, 68, 32-35

Meu artigo está em

Harris, D. (2017) A distribuição de retornos. Jornal de Finanças Matemáticas, 7, 769-804

Antes de ler o meu, você deve ler os quatro artigos acima primeiro. Também não faria mal ler o tomo de ET Jaynes também. Infelizmente, é um trabalho polêmico, mas é rigoroso. O livro dele é:

Jaynes, ET (2003) Teoria da Probabilidade: A Linguagem da Ciência. Cambridge University Press, Cambridge, 205-207

Dave Harris
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