Suponha que eu tenha uma rede RLC em uma caixa preta e bata com força no laboratório para obter a resposta ao impulso. Agora, tenho duas opções: posso realizar a transformação de Fourier ou a transformação de Laplace para obter a resposta de frequência. Como sei qual escolher e qual a diferença física entre cada uma?
Foi-me dito que a transformação de Laplace também fornece a resposta transitória ou a deterioração, enquanto a transformação de Fourier não. Isso é verdade? Se eu aplicar repentinamente um sinal sinusoidal na entrada, deverá haver uma resposta transitória por um breve período de tempo em que a saída não seja sinusoidal até o sistema estabilizar. Alguém pode me dar um exemplo prático em termos de uma rede RLC para mostrar como isso é verdade?
Além disso, geralmente na classe de circuitos, tomamos a transformada de Laplace de um circuito em que a parte real de é assumida como zero de qualquer maneira, portanto, quando usamos para indicar a Transformada de Laplace do capacitor, assume-se que isso é equivalente a . Eu acredito que a parte real é zero, já que a corrente através do capacitor está 90 graus fora de fase com a tensão do outro lado - isso está correto? Eu pensei que a transformação de Fourier era a mesma que a transformação de Laplace com \ sigma = 0 . No entanto, isso não parece ser verdade - considere x (t) = u (t) :
Podemos ver que, mesmo que eu substitua por nenhuma parte real na saída da transformação de Laplace, eles ainda não são iguais. Por que a transformação de Fourier tem um componente de impulso extra, mas Laplace não? Quando posso substituir s = j \ omega e esperar que a transformação de Fourier seja igual à de Laplace?
Edit: a última parte da minha pergunta tem respostas aqui e aqui .
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Ok, então você bate em uma caixa preta feita de componentes RLC e mede a resposta - a resposta de impulso. Agora você quer saber a resposta em frequência, significando a resposta a qualquer sinusoidal.
Primeiro de tudo, você não pode realmente excitar seu sistema com um senoidal puro. É tarde demais, você deveria ter começado no big bang. O melhor que você pode fazer é usar um senoidal causal, que possui componentes de frequência extra.
Mas digamos que o que você quer saber é a resposta do sistema a uma entrada arbitrária no domínio do tempo. Você realmente não precisa de Fourier ou Laplace para saber disso. Uma convolução servirá.
O que você tem em mãos, realmente? Você mediu a resposta ao impulso. De alguma forma, você planejou, digamos continuamente, em oposição a um ADC que amostrou o sinal - o que geralmente é o que acontece, e você estaria perguntando sobre a transformação Z versus FFT. Vamos supor também que o estrondo que você deu foi um bom delta: forte, mas curto.
Como seu sistema é RLC, ele é linear, portanto os princípios de superposição funcionam (não estaríamos falando sobre isso de qualquer maneira). Qualquer entrada pode ser construída adicionando impulsos atenuados compensados no tempo (mais ou menos - é uma coisa limite). Portanto, a resposta total é apenas adicionar todas essas respostas individuais. Essa adição é exatamente o que a entrada de convolução (t) * impulseResponse (t) faz. Você pode considerar o sistema RLC como um "convoluter de hardware". Essa é provavelmente a maneira mais precisa de prever uma resposta a uma entrada arbitrária.
Agora, quero esclarecer uma coisa, que é como Laplace se relaciona com Fourier. Nosso domínio são funções causais, uma vez que não faz sentido comparar o Laplace unilateral com Fourier de outra forma. Além disso, todos os sinais reais são causais. Matematicamente, a transformação de Laplace é apenas a transformação de Fourier da função pré-multiplicada por um exponencial em decomposição. É simples assim. Portanto, se uma transformação de Fourier não existir porque as integrais são infinitas, Laplace ainda poderá existir se a exponencial decadente for forte o suficiente, porque o intergral da função 'atenuada' convergiria. Do ponto de vista matemático, isso pode ser extremamente útil em certos casos.
Mas o que você realmente pode querer é criar um sistema de controle para sua planta. Nesse caso, o que você faz é inspecionar a resposta e aproximá-la com um modelo de 1ª ou 2ª ordem, mais o atraso do grupo. Portanto, não será exato, mas, ao fazer isso, você reduz todos os pequenos detalhes da resposta real e obtém a enorme vantagem de poder conectar esse modelo a equações e algoritmos de controle e a dezenas de livros de conhecimento da teoria de controle e projete e simule seu sistema de controle. Nesse caso, você usaria um modelo de Laplace, pois obtém imediatamente pólos e zeros que podem ser usados para análise de estabilidade.
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