Polos e zeros em inglês

Alguém pode explicar ou fornecer uma boa referência a uma explicação de Poles e Zeros, por exemplo, um compensador de fonte de alimentação ou qualquer sistema de controle para esse assunto. Na verdade, não estou procurando uma explicação matemática, pois isso parece bastante direto, mas o que eles significam em um sentido prático.

Parece comum, por exemplo, que documentos ou notas de aplicativos mencionem algo como "uma configuração de amplificador de erro do tipo III possui três pólos (um na origem) e dois zeros" ou "a adição do capacitor C1 introduz um zero adicional no sistema" como se eu fosse tirar algo disso sem nenhuma explicação adicional. Na realidade, eu sou como "ughhh, e daí?"

Então, o que algo assim significaria do ponto de vista prático. Os pólos são pontos de instabilidade? O número de zeros e pólos indica alguma coisa sobre estabilidade ou falta dela? Existe uma referência sobre isso em algum lugar escrito de uma maneira compreensível que me permita (mais um uso prático, não uma matemática incondicional em prol do tipo de matemática) me juntar à multidão quando se trata de notas de aplicativos que fazem referência a Zeros e Polos ?

1. Um sistema de feedback (como qualquer outro circuito CA) pode ser descrito usando uma função complexa . É chamada de função de transferência do sistema e descreve todo o seu comportamento linear.$L(s)$

2. $L(s)$ pode ser plotado como dois gráficos: um para magnitude e outro para fase ambos vs. frequência (os gráficos do Corpo). Esses gráficos permitem determinar facilmente a estabilidade do sistema. Um sistema instável recebe uma mudança de fase de 180 ° (de modo que um feedback negativo de repente começa a ser positivo) enquanto ainda obtém algum ganho.

3. Toda função complexa que descreve um circuito elétrico é completamente definida por seus pólos e zeros. Se você escrever a função como uma razão de dois polinômios de , zeros serão pontos em que o numerador é igual a e os polos são zeros do denominador.$j\omega$$0$

4. É muito fácil desenhar gráficos Bode a partir de pólos e zeros, para que eles sejam o método preferido para especificar sistemas de controle. Além disso, se você pode ignorar o carregamento da saída (porque você separou os vários estágios com amplificadores operacionais), pode simplesmente multiplicar as funções de transferência sem fazer todos os cálculos normais do circuito. A multiplicação de proporções polinomiais significa que você pode apenas concatenar as listas de pólos e zeros.

Então, de volta à sua pergunta:

1. Verifique a página da Wikipedia para obter uma introdução e este tutorial para obter uma referência sobre como desenhar gráficos Bode a partir de uma lista de pólos e zeros.

2. Leia um pouco sobre as coisas práticas na transformação de Laplace . Versão curta: você apenas calcula o circuito como com números complexos, mas substitui onde você escreveria . Então você encontra e você tem sua função de transferência.j ω V o u $s$$j\omega$$V_{out} \over V_{in}$

3. A partir de uma função de transferência de malha aberta (imagine cortar a malha com tesoura e colocar algum tipo de medidor de resposta em frequência), você desenha gráficos Bode e verifica a estabilidade. A nota do aplicativo Feedback, Amplificadores de operação e Remuneração é curta e densa, mas possui toda a teoria que você precisa para esta parte. Tente pelo menos percorrê-lo.

Em resumo, pólos e zeros são uma maneira de analisar a estabilidade de um sistema de feedback.

Vou tentar não ficar muito pesado em matemática, mas não tenho certeza de como explicar sem pelo menos um pouco de matemática.

Aqui está a estrutura básica de um sistema de feedback:

Dessa forma, não há ganho ou compensação no caminho de feedback, ele é colocado inteiramente no caminho de avanço; no entanto, a parte de feedback de sistemas mais gerais pode ser transformada para se parecer com isso e analisada da mesma maneira.

$L(s)$$L(s) = 1$$s$$L(s) = 0$

$L(0)$

Pólos e zeros

$L(s)$$A e^{i \theta}$$\theta$$L(s)$

$L(s)$$L(s)$

$L(s)$$L(s)$

$L(s) = \frac{10^{6}}{s}$

$L(s)$$L(s)$

Espero que isto ajude. Em geral, eu esperaria que folhas de dados e notas de aplicativos sugerissem valores para os componentes de compensação, para que o usuário não precise analisar a estabilidade, a menos que haja requisitos especiais. Se você tem uma parte específica em mente que está tendo problemas para usar e publica um link da folha de dados, talvez eu possa oferecer algo.

Um polo é uma frequência em que um filtro ressoa e teria, pelo menos matematicamente, um ganho infinito. Um zero é onde ele bloqueia uma frequência - ganho zero.

Um capacitor de bloqueio CC simples, como o acoplamento de amplificadores de áudio, tem zero na origem - ele bloqueia os sinais de 0Hz, ou seja, bloqueia a tensão constante.

Geralmente, estamos lidando com frequências complexas. Consideramos não apenas sinais que são somas de ondas seno / cosseno, como Fourier; teorizamos sobre o crescimento exponencial ou decadente dos senos / cossenos. Pólos e zeros que representam esses sinais podem estar em qualquer lugar do plano complexo.

Se um polo estiver próximo ao eixo real, o que representa ondas senoidais constantes normais, isso representa um filtro passa-banda afinado, como um circuito LC de alta qualidade. Se estiver longe, é um filtro passa-fita macio e mole com um baixo valor de 'Q'. O mesmo tipo de raciocínio intuitivo se aplica a zeros - entalhes mais nítidos no espectro de resposta ocorrem onde os zeros estão próximos do eixo real.

A função de transferência L (s) que descreve a resposta de um filtro deve ter números iguais de pólos e zeros. Esse é um fato básico em análises complexas, válido porque estamos lidando com componentes agrupados lineares descritos por álgebra simples, derivadas e integrais, e podemos descrever senos / cossenos como funções exponenciais complexas. Esse tipo de matemática é analítico em todos os lugares. É comum não mencionar pólos ou zeros no infinito, no entanto.

Qualquer entidade, se não estiver no eixo real, aparecerá em pares - em uma frequência complexa e em seu complexo conjugado. Isso está relacionado ao fato de que um sinal real resulta em sinal real. Não medimos tensões numéricas complexas. (As coisas ficam mais interessantes no mundo das microondas.)

Se L (s) = 1 / s, esse é um polo na origem e um zero no infinito. Essa é a função para um integrador. Aplique uma tensão constante, e o ganho é infinito - a saída sobe sem limite (até atingir a tensão de alimentação ou o circuito fumar). No extremo oposto, colocar uma frequência muito alta em um integrador não terá nenhum efeito; obtém a média de zero ao longo do tempo.

Os pólos no "meio plano direito" representam uma ressonância em alguma frequência que faz um sinal crescer exponencialmente. Portanto, você deseja pólos no meio plano esquerdo, o que significa que, para qualquer sinal arbitrário colocado no filtro, a saída acabará decaindo para zero. Isso é para um filtro normal. Obviamente, os osciladores devem oscilar. Eles mantêm um sinal estável devido a não linearidades - os transistores não podem emitir mais do que Vcc ou menos de 0 volts para a saída.

Quando você olha para um gráfico de resposta em frequência, pode adivinhar que cada solavanco corresponde a um polo e cada queda a zero, mas isso não é rigorosamente verdade. e pólos e zeros distantes do eixo real têm efeitos que não são aparentes dessa maneira. Seria bom se alguém inventasse um miniaplicativo da Web em Flash ou java que permitisse mover vários pólos e zeros por qualquer lugar e traçar a resposta.

Tudo isso é simplificado demais, mas deve dar uma idéia intuitiva sobre o que pólos e zeros significam.

Deixe-me tentar reduzir isso a termos ainda mais simples do que as boas explicações postadas anteriormente.

A primeira coisa a perceber é que pólos e zeros, para tipos de sistemas de controle, implica que estamos no domínio de Laplace. A transformada de Laplace foi criada para permitir que equações diferenciais e integrais sejam tratadas de maneira algébrica. O 's' na equação de Laplace significa "a derivada de" e "1 / s" significa "tomar a integral de". Mas se você tiver um bloco com uma função de transferência de (1 + s) seguido por outro com uma Função de Transferência (TF) de (3 - 5 / s), poderá obter a função de transferência total simplesmente multiplicando (1 + s ) por (3 - 5 / s) e get (3s - 5 / s - 2), o que é consideravelmente mais fácil do que se você permanecesse no domínio regular e tivesse que trabalhar com integrais e derivadas.

Portanto, para a pergunta -> um polo significa que a função de transferência geral tem um 's' para o qual seu valor é infinito. (Como você pode imaginar, isso geralmente é uma coisa muito ruim.) Um zero significa exatamente o oposto: um valor de 's' resulta no TF total = 0. Aqui está um exemplo:

Um TF é (s + 3) / (s + 8). Este TF tem um zero em s = -3 e um polo em s = -8.

Os pólos são um mal necessário: para fazer algo útil, como, digamos, fazer com que a saída de um sistema real rastreie uma entrada, você precisa absolutamente de pólos. Você geralmente precisa projetar o sistema com mais de um deles. Mas, se você não observar seu design, um ou mais desses polos podem se transformar em "s igual a um número com um componente real positivo" (por exemplo, a metade direita do avião). Isso significa um sistema instável. A menos que você esteja construindo intencionalmente um oscilador, isso geralmente é muito ruim.

A maioria dos sistemas de malha aberta possui pólos e zeros que são facilmente caracterizados e muito bem comportados. Mas quando você intencionalmente (ou não intencionalmente, o que é extremamente fácil de fazer) pega uma parte da saída e a envia para alguma parte anterior do sistema, você cria um sistema de feedback de loop fechado. Os pólos e zeros do loop fechado SÃO relacionados aos pólos e zeros do loop aberto, mas não de maneira intuitiva para o observador casual. Basta dizer que é aqui que os designers costumam ter problemas. Esses pólos de circuito fechado precisam ficar no lado esquerdo do plano laplace. As duas técnicas mais usadas para fazer isso são controlar o ganho geral através do caminho do circuito fechado e / ou adicionar zeros (os zeros de circuito aberto adoram pólos de circuito aberto e geralmente fazem com que os pólos de circuito fechado se comportem de maneira muito diferente).

Um comentário rápido sobre uma resposta altamente classificada acima: "Em resumo, pólos e zeros são uma maneira de analisar a estabilidade de um sistema de feedback".

Embora a afirmação seja verdadeira, o sistema não precisa receber feedback para que esses conceitos sejam úteis. Pólos e zeros são úteis para entender a maioria dos sistemas reais com uma resposta de frequência, exceto uma resposta plana, como filtros, amplificadores e qualquer tipo de sistema dinâmico.

Para adicionar um pouco de matemática (é necessário, é um conceito matemático), você pode (para muitos sistemas) expressar uma resposta de frequência de um sistema como:

H (f) = B (f) / A (f)

e B (f) e A (f) podem ser expressos como polinômios complexos em frequência.

Um exemplo simples: considere um filtro passa-baixa RC (tensão em -> série R -> derivação C -> tensão em saída).

O ganho (função de transferência) pode ser expresso no domínio da frequência como:

Vout (f) / Vin (f) = H (f) = 1 / (1 + j * 2 * pi * f * R * C),

onde j (ou i) é a raiz quadrada de -1.

Existe um polo na frequência fp = 1 / (2 pi RC). Se você plotar a magnitude desta equação complexa, encontrará que o ganho em DC é 1 (0dB), que o ganho cai para -3dB em f = fp = 1 / (2 * pi * RC) e que o ganho continua a cair a -20dB por década (aumento de 10x) em frequência após o polo.

Assim, você pode pensar no polo como um ponto de interrupção na resposta de ganho versus frequência. Este exemplo simples é um filtro passa-baixo com uma "frequência de canto" em w = 1 / (RC) ou f = 1 / (2 pi RC).

Em termos matemáticos, um polo é a raiz do denominador. Da mesma forma, um zero é a raiz do numerador e o ganho aumenta em frequências acima de zero. A fase também é afetada ... mas talvez isso seja mais do que suficiente para um encadeamento não matemático.

A "ordem" é o número de pólos e o "tipo" é o número de pólos em f = 0 (integradores puros).