Por que usar números complexos para representar amplitude e fase da CA

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Por que nos circuitos CA as ondas senoidais são representadas como um número complexo na forma polar? Não entendo logicamente, do ponto de vista físico, por que existe uma parte imaginária. É puramente do ponto de vista matemático facilitar a análise de circuitos?

ac circuit-analysis Prevost
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Possível duplicado: electronics.stackexchange.com/questions/28285/…

clabacchio

8

Citação: "É puramente do ponto de vista matemático facilitar a análise de circuitos?"

Não tenho certeza se essa parte da pergunta já foi respondida suficientemente. Portanto: Sim - o uso de matemática complexa para descrever sinais sinusoidais não tem relevância física direta. É apenas "facilitar as análises".

Como exemplo: a introdução da famosa fórmula de Euler para sinais sinusais na série Fourier leva a frequências negativas (simétricas a positivas). Portanto, surge a questão: existem frequências negativas na realidade? A resposta é não! É apenas uma ferramenta matemática útil.

LvW
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Era exatamente isso que eu estava pensando.

Prevost

83

Na verdade, a motivação é bastante simples.

Quando você tem um circuito linear e o estimula com apenas uma frequência, onde quer que você olhe, sempre encontrará a mesma frequência, apenas a amplitude e a fase da onda que você mede mudam.

O que você faz é dizer bem, vamos esquecer a frequência; se eu acompanhar a amplitude e a fase das tensões e / ou correntes ao redor do circuito, será mais do que suficiente. Mas como você pode fazer isso? Não existe nenhuma ferramenta matemática que permita acompanhar a amplitude e a fase? Sim, você conseguiu: vetores. Um vetor tem uma amplitude, que é seu comprimento, e uma fase, que é o ângulo que forma com o eixo x, a direção ccw é positiva.

Agora você pode objetar que vetores são legais, mas não é nada mais legal? E por que precisamos usar a unidade imaginária?

A resposta para a segunda pergunta é fácil: fazer cálculos com vetores é uma dor, uma dor de notação:

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \end{matrix})

$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$

E isso é só adição! Bem que apenas de um problema de notação, se escolhermos outra base de coisas podem ser melhor ... E esta base passa a existir, mas requer a unidade imaginária . A bagunça anterior se torna: Muito mais fácil, não é? $\mathbb{R}^2$ $j$

2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j

$2+3j+1+7j=3+10j$

Ok, mas o que tem um vetor imaginário em comum com uma tensão? Bem, tente imaginar o plano de Gauss, o eixo x é o eixo real, o eixo y é o imaginário.

$\omega$

bom fasor

Bam. É o que chamamos de fasor , e esse rapaz é a arma mais forte que você tem contra circuitos difíceis.

v_{1} (t) = V_{1} porque (2 π f_{0 0} t + θ_{1}) v_{2} (t) = V_{2} porque (2 π f_{0 0} t + θ_{2})

$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$

insira a descrição da imagem aqui

E o melhor é que toda a análise de circuito real que você estudou até agora continua trabalhando com fasores e impedâncias complexas. Ou seja: a lei de Ohm se mantém com fasores e impedâncias complexas , e isso é ótimo, pois temos uma tonelada de ferramentas para resolver circuitos construídos com base nas leis de Ohm e Kirchhoff, e ainda podemos usá-los.

Com os fasores, tomar a derivada / integrar também é super fácil: como você sabe, como estamos falando de senos e cossenos, todos na mesma frequência , é apenas uma questão de mudança de fase, e essa surpresa é muito clara se você usar o representação exponencial complexa.

TL; DR: Os sinusóides são representados como vetores rotativos no plano polar, é quase como parar o tempo enquanto eles giram e tiram uma foto, ou seja, calculam as relações de fase e amplitude. Basta verificar a página phasor na wikipedia. E verifique esta outra resposta mais concisa também.

Vladimir Cravero
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7

Nice pwretty pictures me like +1

Andy aka

Outra coisa interessante sobre a representação complexa: a derivada de um exponencial complexo é apenas outro exponencial complexo com uma mudança de fase. Portanto, não há necessidade de acompanhar se você está usando seno ou cosseno. (Que é, obviamente implícito no seu ponto sobre um circuito impulsionado por uma única frequência, mas eu acho que é um ponto bom para ser explícito sobre.)

semiclássica

Você encobre a coisa realmente legal que torna os números complexos melhores que os vetores: E = IR funciona com números complexos.

Supercat

Isso é apenas acima da seção TLDR ...

Vladimir Cravero

Bom (+1). Você pode adicionar dois fasores de ponta a ponta para mostrar a modulação de amplitude e depois mudar de fase de 90 graus para FM? (I principalmente gostaria de ver um diagrama de fase FM a um elevado índice de modulação que têm dificuldade em visualizar que..)

George Herold

1

O principal a notar é que qualquer sinal periódico (com algumas restrições analíticas básicas que se aplicam na prática ou se aplicam a um grau arbitrário, se não exatamente) pode ser representado como uma soma dos sinais seno e cosseno com uma frequência que é um múltiplo de o período do sinal.

Agora, depois que você deixa o reino da resposta direta (como resistores), a energia pode ser armazenada e recuperada. As bobinas armazenam energia magnética (aplicar tensão e corrente apenas inicia gradualmente, mas continua quando a tensão diminui), os capacitores armazenam energia elétrica (aplicam corrente e tensão apenas inicia gradualmente, mas continua quando a corrente quebra), as massas convertem a força gradualmente em impulso , as molas convertem gradualmente o impulso em força e assim por diante.

Muitas formas de poder são basicamente o quadrado de alguma medida de excitação. Agora, verifica-se que a soma dos quadrados do seno e do cosseno do mesmo argumento é 1. Uma constante. Então você está muito bem descrevendo a conversão periódica de energia usando senos e cossenos.

Acontece que a álgebra usando senos e cossenos é tênue. Se você adicionar um termo imaginário que representa a forma de energia do seu sinal periódico no qual não está interessado e jogar fora qualquer parte imaginária que resta depois de terminar, as manipulações algébricas se tornam muito mais diretas, à custa das variáveis reais serem complexas .

user53147
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$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$ $L$

v (t) = R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} = eu \frac{d Eu}{d t} R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = eu d Eu \int R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = eu \int d Eu R e {\int V e^{j (ω t + ϕ)} d t} = eu Eu (t) R e {\frac{1}{j ω} V e^{j (ω t + ϕ)}} = eu Eu (t) Eu (t) = R e {\frac{1}{j ω eu} V e^{j ϕ} e^{j ω t}}

$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$

$j\omega L$ $v(t)$ $v_o = Ve^{j\phi}$ $i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$ $i(t)$ $i_o$ $e^{j\omega t}$

Veritas
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0

Suponho que concordamos que sejam duas informações para representar um sinal CA em qualquer instante, amplitude e fase, enquanto que essa é a única amplitude para DC.

Não é apenas a análise em que precisamos manipular informações, mas também o design de circuitos. Os componentes têm impedância e afetam os sinais CA. Portanto, quando estamos projetando, precisamos calcular as impedâncias para projetar um circuito com propriedades CA específicas.

Números complexos são convenientes para representar e calcular os sinais CA e a impedância. As duas dimensões, comprimento e ângulo, permitem calcular amplitude e fase juntas, e mantê-las consistentes.

gbulmer
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Por que usar números complexos para representar amplitude e fase da CA

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