Pólos e gráficos de Bode

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Tenho três perguntas que me incomodam há muito tempo:

  1. Dizemos que, em um gráfico Bode, há uma queda no ganho de 20 dB por década sempre que um polo é encontrado. Mas os pólos não são definidos como os valores de que fazem a transferência funcionar infinitamente? Então, por que o ganho não aumenta nesse momento, em vez de diminuir?s

  2. Fisicamente, o que acontece quando alimentamos um sistema com uma frequência de polo?

  3. Além disso, considere uma função de transferência . O sistema possui polo em . Ou seja, para o polo, e . Mas quando aplicamos um sinal senoidal à sua entrada e desenhamos o gráfico Bode, por que dizemos que existe um polo a 2 rad / s (embora, para o polo, e1/(s+2)s=(2+j0)σ=2ω=0ω=0σ=2 )?

Vishnudas Thaniel S
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Você conhece o significado da "frequência do polo"? É uma frequência idêntica ao comprimento do vetor desde a origem até a localização do polo (regra de Pitágoras). No caso de um polo real, a frequência do polo é idêntica à parte real negativa (-sigma). Portanto, não é possível excitar nenhum circuito com sua frequência de polo. É apenas uma ferramenta artificial - mas muito útil.
LVW
@LvW: Essa frequência é geralmente chamada de frequência natural . A frequência do polo é determinada pela parte imaginária do polo.
Matt L.
Matt L., desculpe, mas eu discordo. Vou procurar algumas referências.
LVW
Matt L., receio, há uma diferença na terminologia entre a Alemanha e os EUA. Penso que devo concordar que no seu país o parâmetro que chamamos de "frequência do polo" é conhecido como "frequência natural". Desculpe.
LvW 12/03
@ Matt L., fico feliz em dizer que não estou completamente "fora da pista": há um livro sobre técnicas de filtro "Analog and Dig. Filters" (Harry YFLam, Bell Inc.) em que a magnitude de a localização do polo (distância da origem) também é chamada de "frequência do polo". É bom saber, mas sempre devemos ser cautelosos ao usar essas palavras-chave.
LVW

Respostas:

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A plotagem de Bode não é um gráfico que representa a função de transferência ( ) contra s . H ( s ) é uma função complexa e seu gráfico de magnitude na verdade representa uma superfície no sistema de coordenadas cartesianas. E essa superfície terá picos chegando ao infinito em cada pólo, como mostra a figura:H(s)sH(s)

insira a descrição da imagem aqui

A plotagem do Bode é obtida substituindo primeiro em H ( s ) e depois representando-o na forma polar H ( j ω ) = | H ( ω ) | & Phi; ( ω ) . H ( ω ) fornece o gráfico de magnitude e ϕ ( ω ) fornece o gráfico de fase.s=jωH(s)H(jω)=|H(ω)|ϕ(ω)H(ω)ϕ(ω)

O gráfico de magnitude do Bode é a aproximação assintótica da magnitude da função de transferência ( ) vs logaritmo de frequência em radianos / s ( log 10 | ω | ) com | H ( s ) | (expresso em dB) no eixo y e logaritmo 10 | w | no eixo x.|H(ω)|log10|ω||H(s)|log10|ω|

Chegando às perguntas:

  1. Em postes, a superfície complexa de picos para o infinito não | H ( ω ) | .|H(s)||H(ω)|

  2. Quando um sistema é alimentado com frequência de polo, a saída de co-patrocínio terá a mesma frequência, mas a amplitude e a fase mudarão. O valor pode ser determinado substituindo a frequência em radianos / s em e ϕ ( ω ) respectivamente.|H(ω)|ϕ(ω)

  3. Um polo a -2 rad / s e 2 rad / s tem o mesmo efeito em . E nosso interesse está na resposta em frequência. Então, precisamos apenas de parte positiva disso.|H(ω)|

nidhin
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Boa resposta e eu adoro que você tenha gastado tempo para formatá-lo bem! +1
nulo
Eu não posso seguir. Primeiro, H(s)ele próprio não representa uma superfície como você mostra; em vez disso, possui um valor complexo em cada (complexo) s. O que você exibe é provavelmente o valor absoluto (magnitude) |H(s)|, ou talvez a parte real real(H(s)). Quanto ao que você diz no primeiro parágrafo abaixo da imagem: Se real(H(s))e / ou imag(H(s))vai para o infinito, então a magnitude |H(s)|, também vai para o infinito. Como não pôde?
Christopher Creutzig 12/03/2015
@ChristopherCreutzig O gráfico mostrado é um gráfico em 3D. parte real de 's' no eixo x, parte imaginária de 's' no eixo y e magnitude de H (s) no eixo z. mas posso ver que existem algumas confusões. Deixe-me fazer uma edição.
Nidhin 12/03/2015
Eu entendi essa parte. Minha reclamação é que o gráfico não é de H (s), pois é simplesmente impossível traçar uma função complexa de um parâmetro complexo dessa maneira (ao usar menos de quatro dimensões). A superfície mostrada é a de |H(s)|e não deve ser chamada de superfície (plot) de H.
Christopher Creutzig 12/03/2015
@ Christopher agora eu tenho você. Eu estava usando as palavras de uma maneira bastante confusa. Espero que tenha deixado claro desta vez.
Nidhin 12/03/2015
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Ao tentar entender as funções de transferência, acho que a "analogia da borracha" é muito útil. Imagine uma folha de borracha elástica cobrindo o plano complexo e imagine que, a cada zero da função de transferência, a folha esteja presa ao chão, e em todos os pólos haja um bastão fino literal empurrando a folha de borracha para cima. A magnitude da resposta em frequência é a altura da folha de borracha ao longo do eixo j ω .sjω

  1. Da analogia acima, é claro que o ganho sobe em direção ao polo. Mas, afastando-se do poste, a contribuição do poste diminui a função de transferência (por exemplo, indo para o próximo zero). Imagine o sistema simples que você deu como exemplo na sua terceira pergunta. Ele possui um polo com valor real em e - devido a esse polo - também possui um zero em s 0 = . Então, afastando-se do poste com frequência crescente, a função de transferência diminui porque a folha de borracha é presa ao chão no infinito. Matematicamente, também é fácil ver: H ( s ) = 1s=-2s0 0= Em decibéis, obtemos 10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(ω

    H(s)=1s+2|H(jω)|2=1ω2+4=141(ω2)2+1
    Paraω2,o segundo termo no lado direito de (1) pode ser aproximado por -10log10(ω
    (1)10registro10|H(jω)|2=-10registro10(4)-10registro10[(ω2)2+1]
    ω2 que é uma linha reta com uma inclinação de-20
    -10registro10(ω2)2=-20registro10(ω/2)
    por década.-20dB
  2. H(s)=1s+2x(t)=e-2ty(t)=te-2tt0 0t

  3. 22-20ω22

Matt L.
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Já ouvi essa analogia antes e acho que é a melhor para entender o conceito. E obrigado por reservar um tempo para formatar sua resposta de maneira agradável! +1
nulo
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insira a descrição da imagem aqui

sjωωp=1000Qp=1.3

LvW
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0

O "s" em suas equações é a constante na função exp (s * t). Portanto, quando s é um número real, essa função de tempo é uma função exponencialmente crescente ou decrescente. Seu exemplo com s = -2 é uma função que cai exponencialmente. Para qualquer "número" de pólo, a saída aumentará quando você aplicar uma entrada nesse "número". Se você aplicar um sinal de queda exponencial ao seu circuito de exemplo, o sinal de saída irá para o infinito. (Observe, no entanto, que não é possível gerar um sinal que está sempre caindo exponencialmente, porque esse sinal é muito grande às vezes no passado). Quando você fala de frequências como 2 radianos / s, está falando de polos em j * 2, e não 2, então esses sinais são sinusoidais. É possível gerar sinais que são ondas senoidais (pelo menos por um longo tempo).

user69795
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Desde u não respondeu à sua pergunta isso deve ser um comentário
Pedro Quadros