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Digamos que eu tenho um seno de 1kHz, portanto, não há harmônicos mais altos, então preciso amostrá-lo pelo menos a 2kHz para poder reconstruí-lo.
Mas se eu fizer uma amostragem em 2kHz, mas todas as minhas amostras estiverem no cruzamento de zero, meu sinal amostrado não mostrará um seno, mas sim o ECG de um paciente falecido. Como isso pode ser explicado?

Isso também pode ser expandido para frequências de amostragem mais altas. Se eu amostrar uma forma de onda mais complexa a 10kHz, devo pelo menos obter os 5 primeiros harmônicos, mas se a forma de onda for tal que as amostras sejam sempre zero, então novamente não obtemos nada. Isso não é exagerado, é perfeitamente possível para uma onda retangular com um ciclo de trabalho <10%.

Então, por que o critério Nyquist-Shannon parece ser inválido aqui?

analysis Federico Russo
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O critério de Nyquist é mínimo. Outros problemas, como alias, podem exigir uma amostragem mais alta ou outras contramedidas.

Drxzcl

Uau! 3 respostas para 6 visualizações!

Federico Russo

@FedericoRusso Você tem uma tendência a fazer boas perguntas

m.Alin

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Resumindo: no seu exemplo, a amostragem de um seno de 1kHz a 2kHz aliases o sinal ao de um senoidal de 0Hz - resultando no paciente morto!

Phil

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Você realmente precisa de uma taxa de amostragem de pouco mais de 2 kHz para amostrar ondas senoidais de 1 kHz corretamente. É não

f_{N} < f_{S} / 2

$f_N < f_S / 2$

f_{N} \leq f_{S} / 2

$f_N \le f_S / 2$

PS Se você levou seu sinal para um espaço complexo, onde um sinusóide é da forma onde t é tempo, A é amplitude, f é frequência e θ é deslocamento de fase,

v (t) = A e^{j (2 π f t - θ)} = A (\cos (2 π f t - θ) + j \sin (2 π f t - θ))

$v(t) = Ae^{j(2 \pi f t - \theta)} = A(\cos(2 \pi f t - \theta) + j \sin(2 \pi f t - \theta))$

é o ponto em que a frequência "se dobra", ou seja, você não pode distinguirfde-f. Após a amostragem, outros aumentos na frequência parecerão subtraídos da frequência de amostragem, no caso de um sinusóide puro.

f_{N} = f_{S} / 2

$f_N = f_S / 2$

Não Sinusoides

No caso de uma onda quadrada a 1 kHz com um ciclo de trabalho menor ou igual a 10%, amostrado a 10 kHz, você está entendendo mal a entrada.

Primeiro, você precisa decompor sua forma de onda em uma série de Fourier para descobrir quais são as amplitudes das harmônicas dos componentes. Você provavelmente ficará surpreso ao saber que os harmônicos desse sinal ultrapassam os 5 kHz! (A regra geral do terceiro harmônico é 1/3 tão forte quanto o fundamental, e o quinto é 1/5 do fundamental, somente se aplica a ondas quadradas de 50% do ciclo de serviço .)

A regra básica para um sinal de comunicação é que sua largura de banda complexa é igual à inversa do tempo do menor pulso; portanto, neste caso, você está procurando uma largura de banda mínima de 10 kHz (-5 kHz a 5 kHz) para um ciclo de trabalho de 10% com o fundamental em 1 kHz (ou seja, 10 kbps).

Então, o que vai arruiná-lo é que esses fortes harmônicos de ordem superior se dobram e interferem (construtiva ou destrutivamente) com os harmônicos da banda; portanto, é perfeitamente esperado que você não obtenha uma boa amostra porque há muita informação fora do Nyquist banda.

Mike DeSimone
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Isso não explica o segundo exemplo porém, onde a freqüência de amostragem é 10 vezes a frequência groung

Federico Russo

Sim, senti falta disso. Adicionado à minha resposta. Coisa interessante para se pensar: o fio da categoria 5e, que pode transportar dados Gigabit Ethernet, tem uma largura de banda especificada de 100 MHz. O gato 6 vai para 250 MHz e o gato 7 vai para 750 MHz.

Mike DeSimone

Então, isso significaria que para a amplitude e fase do sinal pulsado de cada harmônico, há um mapeamento para um harmônico espelhado com exatamente a mesma fase, mas amplitude invertida?

Federico Russo

@Federico: "fold over", neste caso, significa espelhado sobre a frequência Nyquist. Portanto, se você estiver amostrando a 10 kHz e tentar amostrar um seno de 11 kHz, obterá uma saída de 9 kHz. Tente amostrar 13 kHz e você obterá 7 kHz.

endolith 20/07

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Para o último comentário, o exemplo é quando você olha para os carros na TV: quando a velocidade de rotação se aproxima de um múltiplo da taxa de quadros, a roda parece desacelerar até ficar imóvel e começa a girar no sentido oposto.

Clabacchio

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$F_S + f$ $F_S - f$
$F_S / 2$

enter image description here

$-F_S / 2$ $F_S / 2$
$F_S$

enter image description here

$F_S / 2$

$F_S$ $F_S / 2$

stevenvh
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+1 para as fotos. Torne muito mais claro.

Federico Russo

Yay fotos! Eu deveria usá-las com mais frequência, mas me divirto muito com a arte ASCII. De qualquer forma, toda essa sobreposição na figura 2 pode ser útil se as frequências que você realmente usa estiverem completamente dentro da parte não sobreposta, mas isso não é comum fora da modulação sigma-delta.

21811 Mike DeSimone

Em alguns casos, pode ser bom deixar entrar o material de amostragem que está acima de Fs / 2, se alguém, após a amostragem, remover qualquer coisa que esteja nas frequências com alias. Por exemplo, se alguém quiser terminar com áudio amostrado em 8.000Hz, mas não filtrar itens abaixo de 3.500, pode ser difícil criar um filtro tão nítido usando circuitos analógicos. Por outro lado, se alguém começar amostrando a 16.000Hz e filtrar digitalmente itens acima de 4.000Hz, seria necessário apenas um filtro analógico que atenuasse itens acima de 12KHz, mantendo-os abaixo de 4KHz. Qualquer coisa entre 4-12Khz seria alias para 4-8Khz.

supercat

@supercat - Your anti-alias filter should always be analog. I agree with your point about the analog filter, but the numbers you're using are incorrect. 4-12kHz will alias to 4-12kHz, not 8kHz. (You can easily see this if you check bandwidths, which should be equal.)

stevenvh

@stevenvh: Normalmente, o resultado da amostragem é descrito apenas em termos de frequências em Nyquist ou abaixo, acho, embora todas as frequências abaixo de Nyquist tenham um alias para uma entre Nyquist e a taxa de amostragem. O que quero dizer é que, se alguém planeja filtrar digitalmente algo acima de 4KHz, não precisa se preocupar que as frequências entre 8KHz-12Khz sejam dobradas de volta para a faixa de 4KHz-8KHz; pois eles serão filtrados de qualquer maneira. Quase sempre é necessário algum tipo de filtro anti-aliasing analógico, mas em muitos casos a superamostragem pode facilitar consideravelmente os requisitos. É ...

supercat

1

Teorema está ok. Seu sinal NÃO deve conter frequências iguais ou superiores a metade da taxa de amostragem, de acordo com Nyquist. Shannon provavelmente permite, mas é sua versão do teorema, que provavelmente causa ambiguidade em frequência crítica.

Editar (Re: voto negativo para uma resposta curta?): Não vejo necessidade de explicar o método de amostragem em si. A questão é sobre confusão "é a frequência crítica incluída na banda ou não é" e se o teor do teorema de Shannon contém falha. Na verdade, sim (como eu vejo no wiki do mundo). Ou provavelmente os autores do wiki citaram sua palavra imprecisamente. E, a propósito, existem 4 autores independentes no século 20 desse mesmo teorema, de modo que a confusão de quem aprende a idéia de fontes aleatórias pode piorar.

fonte

Se sua entrada de amostragem não possui algum tipo de filtro passa-baixo, nada deve ser filtrado; todos os harmônicos devem se dobrar e interferir potencialmente entre si. Alguns rádios modernos usam a dobragem de frequência Nyquist como um deslocador de banda usando um ADC de entrada de banda larga com um filtro passa-banda no front-end.

21811 Mike DeSimone

@ Mike DeSimone: Obrigado por explicar o efeito de alias, mas, novamente, a pergunta não é sobre a reconstrução de "fim de banda", não "dentro da banda" ou "fora da banda".

0

$N Hz$ $\frac{1}{2}N$ $1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

$f$ $t$

Mas de acordo com a Wikipedia:

Em essência, o teorema mostra que um sinal analógico ilimitado de banda que foi amostrado pode ser perfeitamente reconstruído a partir de uma sequência infinita de amostras se a taxa de amostragem exceder 2B amostras por segundo, onde B é a frequência mais alta no sinal original.

Portanto, uma frequência de amostragem com o dobro da frequência está errada - deve ser um pouco mais do que o dobro da frequência. Dessa forma, amostras sucessivas capturam porções ligeiramente diferentes da forma de onda.

Majenko
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Como eu também disse para Mike: isso não explica o segundo exemplo porém, onde a freqüência de amostragem é 10 vezes a frequência groung

Federico Russo

Uma onda retangular possui harmônicos incrivelmente altos. Nyquist afirma que é para pouco mais de 2x a frequência mais alta. A frequência mais alta pode ser centenas, senão milhares de vezes maior que um ciclo de trabalho de 50%.

Majenko

É também para um sinal contínuo - uma onda retangular PWM com 10% de operação não é contínua. Pode-se dizer que um PWM de 50% é um sinal contínuo para a frequência mais baixa (o ciclo de serviço), mas não para as frequências mais altas.

Majenko

@Matt - todo sinal é cintinuoso para a frequência mais baixa, pois todas as frequências de composição são senos, de acordo com Fourier. Também é perfeitamente possível tornar o pulso de Federico contínuo e ainda ter o mesmo resultado amostrado.

stevenvh

0

Ao amostrar a uma taxa específica F, todo componente de frequência f gerará aliases da forma kF + f e kF- f para todos os valores inteiros de k. No uso comum, não há componentes de frequência acima de F / 2 quando o sinal é amostrado; portanto, os únicos componentes no intervalo de 0 a F / 2 serão aqueles que estavam presentes no sinal original. Após a amostragem, haverá componentes de sinal acima de F / 2 (gerados como aliases dos abaixo). O mais problemático deles para qualquer frequência f no sinal original será aquele na frequência F- f .

Observe que, como frequência fse aproximar de F / 2 de baixo, a primeira frequência de alias se aproximará de F / 2 de cima. Se a entrada contiver um sinal na frequência F / 2-0,01Hz, haverá um alias na frequência F / 2 + 0,01Hz - apenas 0,02Hz acima dela. Separar os sinais originais e alternativos será teoricamente possível, mas na prática difícil. A forma de onda amostrada aparecerá como a soma de duas ondas de força igual de frequência quase igual. Como tal, sua amplitude parecerá mudar com a fase relativa das ondas de frequência mais alta. No caso em que a frequência de entrada é exatamente F / 2, a frequência de alias também será exatamente F / 2. Como não haverá separação de frequência entre o original e o pseudônimo, a separação será impossível. A relação de fase entre os sinais originais e os aliases determinará a amplitude do sinal resultante.

supercat
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Intrigado com a frequência de Nyquist

Respostas:

Não Sinusoides