Duas caixas pretas exibem a mesma impedância em todas as frequências. Qual tem o único resistor?

Duas caixas pretas exibem a mesma impedância em todas as frequências. O primeiro contém um único resistor de 1 Ohm. Cada extremidade é conectada a um fio, de modo que dois fios se projetem da caixa. A segunda caixa parece idêntica por fora, mas por dentro existem 4 componentes. Um capacitor de 1 F está em paralelo com um resistor de 1 Ohm e um indutor de 1 H está paralelo com o outro resistor de 1 Ohm. O combo RC está em série com o combo RL, conforme mostrado na figura

As caixas são pintadas de preto, inquebráveis, impermeáveis ​​aos raios X e blindadas magneticamente.
Demonstre que a impedância de cada caixa é de 1 Ohm em todas as frequências. Que medida permitiria determinar qual caixa contém o único resistor?

Este é um adendo à resposta de luchador .

A dissipação de energia transitória nas duas caixas é muito diferente. A simulação a seguir demonstra isso.

^{simule este circuito - esquemático criado usando o CircuitLab}

Execute a simulação por 40 segundos e plote a expressão "I (R1.nA) ^ 2 + I (R2.nA) ^ 2", que representa a potência instantânea total nos dois resistores.

Como eu disse no meu comentário, a caixa A não apenas aquecerá mais lentamente enquanto o pulso estiver ligado, mas também exibirá um pico de temperatura quando o pulso terminar, porque a potência instantânea total dissipada nos resistores é dobrada naquele momento. A caixa B não exibirá esse pico.

(NOTA: Se você tiver problemas para executar a simulação, consulte esta publicação do Meta .)

A única diferença observável é a dissipação atrasada do poder como calor. Qualquer restrição de observar a transferência de calor é contra as leis da termodinâmica. Então, de alguma forma, você pode observar isso e descobrir, apesar dessa lista de restrições.

Meça o ruído térmico do resistor e você receberá o KTB da faculdade ou muito perto dele. A caixa com os componentes reativos também emitirá algum ruído mensurável, MAS é a soma vetorial do HF extraído e do LF extraído. A matemática é um pouco longa para isso, mas basta dizer que haverá uma diferença nas suas medições de ruído. Em um analisador de espectro, você verá alguma falta de planicidade em torno da frequência ressonante. Como a rede possui um Q de 1, o efeito será bastante amplo. Se você quis fazer isso como um experimento real e não apenas como um experimento em pensamento, precisará escolher valores de componentes que seriam mais realizáveis ​​fisicamente e mais fáceis de tornar mais ideais.

Você pode aplicar uma tensão CC na caixa A. Isso carregará o capacitor. Agora você pode remover a fonte e medir a tensão armazenada. Isso não funciona para a caixa B.

Atualização: Para essa escolha específica de componentes, o sistema não é observável. Por esse motivo, esse método não funcionará. Quando aplicamos uma tensão no circuito, teremos uma corrente através do indutor e uma carga no capacitor. Assim que removermos a tensão, a corrente do indutor fluirá através do resistor paralelo, cancelando a tensão no capacitor. A corrente do indutor e a tensão no capacitor decaem na mesma taxa. Eles não podem ser observados de fora.

$R_L$$L$$R_{(L)}$

$R_L$$R_{(L)}$

$R_L \Omega$$0\Omega$

$R_T$$R_C$

A caixa B, no entanto, contém um resistor de um ohm, para que as identidades das caixas possam ser confirmadas medindo-se as resistências de ponta a ponta dos fios que se projetam das caixas, com a caixa A exibindo uma resistência maior que a caixa B.

Faça um terceiro terminal, fechando firmemente a caixa atual com uma caixa de metal (ou use a caixa atual, se ela já for de metal). Em seguida, meça a resposta de frequência de cada um dos dois terminais originais com relação a este novo terminal: As respostas da Caixa B devem ser mais simétricas (a Caixa A deve mostrar alguma diferença dependendo se você sonda o terminal do capacitor ou o terminal do indutor).

Duvido que você possa projetar duas caixas de forma que elas sejam indistinguíveis para esse experimento de três terminais. Por favor, indique os detalhes da caixa, se puder.

Vamos supor, para começar, que os componentes sejam suficientemente compatíveis, o que é um problema devido às tolerâncias em capacitores e indutores.

Você está assumindo um indutor ideal. No mundo real, o núcleo do indutor entra em saturação com suficiente corrente / frequência aplicada. A menos que você tenha um indutor de núcleo de ar, é claro, mas isso sempre irradiará de várias maneiras interessantes que são detectáveis ​​externamente.

Você também está assumindo que o capacitor não está polarizado e não possui tensão de ruptura. A polarização é fácil de verificar - basta colocar uma tensão negativa nela. A tensão de ruptura pode ser mais difícil, já que precisaríamos de muita corrente também. A solução óbvia, porém, é que uma mudança gradual na corrente (um desligamento rígido) produzirá um aumento maciço de tensão do indutor. É assim que as velas de ignição de um carro são acionadas, produzindo vários kV a partir de uma bateria de 12V. Fazer o mesmo aqui provavelmente levaria o capacitor além da tensão de ruptura.

Conecte um refletômetro no domínio do tempo e envie um pulso para a caixa. As reflexões devem mostrar a presença de múltiplos elementos.