Impedâncias complexas

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O que significa ter uma impedância complexa?

Por exemplo, a impedância de um capacitor (no domínio Laplace?) É dada por 1 / sC (eu acredito) que equivale a onde os transientes são negligenciado. O que significa para a impedância ser imaginária? $\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$

Atualmente, estou no meu 2º ano de Engenharia Elétrica na Universidade, então, se possível, eu apreciaria uma resposta matematicamente válida e completa, se não houver muitos problemas, com a referência do material de estudo (recursos da web e de papel) ideal.

Desde já, obrigado.

impedance JonaGik
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Você não está estudando exatamente isso em seus cursos? Certamente você já tem um ou dois livros que abordam isso em detalhes. Esse é um tópico muito amplo, difícil de responder sem uma pergunta mais específica.

precisa

Um recurso adicional

clabacchio

Os livros que pareço assumir que isso já é conhecido nos cursos anteriores (e não fomos ensinados sobre isso). Além disso, meus palestrantes embaralharam seu pedido, de modo que provavelmente seremos ensinados mais tarde, mas não antes que precisemos.

JonaGik

Parece que sua esposa deixou muitos tópicos intocados e é muito inconveniente para um curso de engenharia ...

clabacchio

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TL; DR A parte imaginária da impedância informa o componente reativo da impedância; este é responsável (entre outros) pela diferença de fase entre corrente e tensão e a potência reativa utilizada pelo circuito.

O princípio subjacente é que qualquer sinal periódico pode ser tratado como a soma (às vezes) de ondas senoidais infinitas chamadas harmônicas, com frequências igualmente espaçadas. Cada um deles pode ser tratado separadamente, como um sinal próprio.

Para esses sinais, você usa uma representação semelhante a:

v (t) = V_{0 0} porque (2 π f t + ϕ) = ℜ {V_{0 0} e^{j 2 π f t + ϕ}}

$v(t) = V_{0} \cos (2 \pi f t + \phi) = \Re \{ V_{0}e^{j 2 \pi f t + \phi} \}$

E você pode ver que já saltamos no domínio de números complexos, porque você pode usar um exponencial complexo para representar a rotação.

Portanto, a impedância pode ser ativa (resistência) ou reativa (reatância); enquanto o primeiro por definição não afeta a fase dos sinais ( ) que a reatância afeta , portanto, usando números complexos é possível avaliar a variação na fase que é introduzida pela reatância. $\phi$

Então você obtém:

V = Eu \cdot Z = Eu \cdot | Z | \cdot e^{j θ}

$V = I \cdot Z = I \cdot |Z| \cdot e^{j \theta}$

onde | Z | é a magnitude da impedância, dada por:

| Z | = \sqrt{R^{2} + X^{2}}

$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$

e teta é a fase introduzida pela impedância e é dada por:

θ = \arctan (\frac{X}{R})

$\theta = \arctan \left( \frac{X}{R} \right)$

Quando aplicada à função anterior, ela se torna:

v (t) = ℜ {I_{0} | Z | e^{j 2 π f t + ϕ + θ}} = I_{0} | Z | \cos (2 π f t + ϕ + θ)

$v(t) = \Re \{ I_{0}|Z|e^{j 2 \pi f t + \phi + \theta } \} = I_{0} |Z| \cos (2 \pi f t + \phi + \theta )$

Vamos considerar o capacitor ideal: sua impedância será que é imaginário e negativo; se você colocá-lo na circunferência trigonométrica, obtém uma fase de -90 °, o que significa que, com uma carga puramente capacitiva, a tensão estará 90 ° atrás da corrente. $\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

Então por que?

Digamos que você queira somar duas impedâncias, 100 Ohm e 50 + i50 Ohm (ou, sem números complexos, ). Então, com números complexos, você soma a parte real e imaginária e obtém 150 + i50 Ohm. $70.7 \angle 45 ^\circ$

Sem usar números complexos, a coisa é bem mais complicada, pois você pode usar cossenos e senos (mas é o mesmo que usar números complexos) ou entrar em uma confusão de magnitudes e fases. Você decide :).

Teoria

Algumas noções adicionais, tentando resolver suas perguntas:

A representação harmônica dos sinais é geralmente abordada pela decomposição da série de Fourier :

v (t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j n t}, where c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} v (t) e^{- j n t} d t

$v(t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n}e^{jnt} , \text{ where } c_{n} = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi} v(t)e^{-jnt} \, dt$

O exponencial complexo está relacionado ao cosseno também pela fórmula de Euler :

c o s (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}

$cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

clabacchio
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Muito obrigado pela sua resposta. Em relação à sua equação v (t), apenas para esclarecer, você quer dizer v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + ... + vn cos (2pi fn t + phi) (uma vez que o sinal pode ser representado como um número possivelmente infinito de sinusóides de diferentes frequências)? Então, você deriva o termo R (V0 exp (j2pift + phi)) de cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Se for esse o caso, para onde vai o termo 0,5 exp (-2pift ...)? Além disso, na equação da lei de Ohm, presumivelmente V (t) é avaliado como uma expressão real, mas exp (j omega) não, então como isso funciona? Obrigado novamente.

JonaGik

MMH muitas perguntas :). Sobre o primeiro, não exatamente: verifique a representação da série de Fourier, mas em teoria também são possíveis outras decomposições; sobre o exponencial, sim, é a equivalência de Eulero. O mesmo vale para a última pergunta: o exponencial complexo fornece a rotação, mas depois é apenas a parte real.

clabacchio

Uau, isso é uma resposta rápida! Por que apenas a parte real é tomada? Isso não parece matematicamente válido. Obrigado novamente.

JonaGik

É isso que estou sentindo falta? "Aexp (i omega) ... é entendido como uma notação abreviada, codificando a amplitude e a fase de um sinusóide subjacente". em en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . A ideia de que a representação numérica complexa é uma abreviação para a representação de um ângulo (fase) e uma magnitude?

JonaGik

@JonaGik sim, é uma representação conveniente de sinais sinusoidais, como também diz a página da wiki. Eu diria que cada objeto matemático é uma abreviação para representar ou resolver algum problema real ...

clabacchio

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Tenho certeza de que isso não responderá inteiramente à sua pergunta, na verdade, espero que isso complemente as respostas já dadas que parecem negligenciar: o conceito por trás do uso de números complexos (que, como já foi dito, é apenas um nome sofisticado para um tipo de "quantidade" matemática, se você quiser).

A primeira pergunta principal aqui que devemos responder é por que os números complexos. E para responder a essa pergunta, precisamos entender a necessidade dos diferentes conjuntos de números, dos naturais aos reais.

Desde tenra idade, os números naturais permitiram que as pessoas contassem, por exemplo, maçãs e laranjas em um mercado. Em seguida, os números inteiros foram introduzidos para abordar o conceito de "dívida" por meio de números negativos (esse era um conceito difícil de entender na época). Agora, as coisas ficam mais interessantes com os números racionais e a necessidade de representar "quantidades" com frações. O interessante sobre esses números é que precisamos de dois números inteiros, e não apenas um (como os números naturais e números inteiros), por exemplo 3/8. Essa maneira de representar "quantidades" é muito útil, por exemplo, para descrever o número de fatias (3) restantes em uma torta de 8 fatias, quando 5 já foram consumidas :) (você não pode fazer isso com um número inteiro!).

Agora, vamos pular os números irracionais e reais e ir para os números complexos. Os engenheiros eletrônicos enfrentaram o desafio de descrever e operar um tipo diferente de "quantidade", a tensão senoidal (e corrente) em um circuito linear (isto é, feito de resistores, capacitores e indutores). Adivinha, eles descobriram que números complexos eram a solução.

$\omega$ $\phi$

y (t) = UMA \cdot s Eu n (ω t + ϕ)

$y(t) = A \cdot sin(\omega t + \phi)$

$\omega$

$\frac{1}{j \omega C}$

ATUALIZAR

Também há algumas notas que recomendo ler "Uma introdução à análise complexa para engenheiros", de Michael D. Alder. Esta é uma abordagem muito amigável ao assunto. Em particular, eu recomendo o primeiro capítulo.

gmagno
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O uso de números complexos é uma maneira matemática de representar componentes em fase e fora de fase - a corrente em relação à tensão. Impedância imaginária não significa que a impedância não existe, significa que a corrente e a tensão estão fora de fase uma com a outra. Da mesma forma, uma impedância real não significa real no sentido cotidiano, apenas que a corrente está em fase com a tensão.

Martin
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Entendo essas idéias conceitualmente, estava me perguntando como uma impedância complexa realmente funciona - qual é a razão matemática para ela ser complexa e como é derivada?

JonaGik

@JonaGik onde estava faltando minha resposta? Eu pensei que estava respondendo a este motivo matemático ...

clabacchio

Isto está certo? A ideia de que a representação numérica complexa é uma abreviação para a representação de um ângulo (fase) e uma magnitude? Então, quando interpretamos uma impedância complexa, consideramos que ela simplesmente representa o atraso de fase e a magnitude?

JonaGik

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As descrições abaixo PROCURA desmistologizar o que se entende por quantidades "complexas" em um contexto de RCL. Os conceitos de componentes "imaginários" são uma metáfora útil que tende a cegar as pessoas para as realidades subjacentes simples.O texto abaixo fala em termos de RC e não toca nos mistérios da LC, que na verdade não são mais misteriosos na realidade.
Seria um grande benefício para você fazer o máximo para abordar a maioria dos pontos levantados usando um livro de texto ou um mecanismo de pesquisa na Internet antes de procurar explicações de outras pessoas, porque essa pergunta é muito fundamental para o básico dos circuitos CA com reatividade. componentes. Lidar com perguntas difíceis estabelece uma precedência sobre como você lida com coisas semelhantes em toda a sua educação e a Internet provavelmente possui milhões de páginas tratando desse assunto (Gargoyle diz ~ = 11 milhões, mas quem sabe?). O grau de detalhe e detalhamento que você solicita não é realista em um site como esse, dada a grande quantidade de detalhes "lá fora". (A menos que os proprietários do site estejam tentando replicar um subconjunto da Wikipedia).

SO - Eu acho que ajudar você a entender o básico é uma boa idéia, para que você possa pegar e executar a partir daí. Então ...

Se você conectar um terminal de entrada a um resistor em série a um capacitor e o outro capacitor estiver "aterrado", você obterá um circuito RC em série:
Vin - resistor - capacitor - terra.

Se você agora aplicar uma tensão de passo à entrada, a corrente do capacitor passará para corresponder, mas o capacitor começará a carregar usando essa tensão para produzir corrente no resistor. O aumento de tensão será exponencial porque a corrente que flui para o capacitor será afetada por Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. isto é, à medida que o Vcap aumenta, o potencial através do resistor diminui e a corrente diminui. Em teoria, levará um tempo infinito para o Vcap alcançar Vin, mas na prática é mais ou menos "em cerca de 3 constantes de tempo em que
t = RC = o tempo necessário para que Iin caia a 1/5 do seu valor inicial. O quê e porquê do termo 1 / e você já sabe ou fará depois de ler as referências.

AGORA, se aplicarmos um sinal de onda quadrada, o capacitor carregará como acima quando a entrada for positiva e descarregará de maneira exponencial semelhante quando a entrada for aterrada ou negativa. Enquanto a corrente do capacitor seguirá Vin e será máxima quando Vin fizer uma transição alta / baixa ou baixa alta, a tensão do capacitor, pelas razões descritas acima, ficará atrás da tensão de entrada. Uma vez atingido o estado estacionário, se você plotar Vcap e I cap, encontrará duas formas de onda deslocadas em até quase 90 graus ou tão pouco quanto quase graus, onde um ciclo de entrada inteiro = 360 graus. Até que ponto a tensão do capacitor está atrasada em relação à sua corrente depende da frequência de entrada e da constante de tempo RC.

Para os não iniciados, isso pode parecer mágico (ou o uso de tiotimolina *), com uma forma de onda de corrente ocorrendo até 1/4 de um ciclo antes de sua tensão, MAS é justamente porque a razão lógica para isso, conforme explicado acima, não é necessariamente intuitivamente óbvio na inspeção.

Se você começar a pentear capacitores, resistores e indutores de várias maneiras, precisará lidar matematicamente com as fases relativas das várias formas de onda. [Na primeira introdução, pode parecer que os fasores estão atordoados].

Alguns cálculos competentes, ou uma olhada em algumas das 10 milhões de páginas da Web sobre o assunto, indicarão que, onde você tem duas formas de onda que variam em relação de fase, são enviadas umas às outras e que são baseadas em um relacionamento exponencial mútuo, cada forma de onda pode ser representada por uma representação polar da forma [R, Theta] que, em termo, pode ser representada como um número complexo que possui componentes X e Y que refletem a forma polar.

O "vetor" polar que representa a relação de tensão e corrente em uma dada situação usa uma "metáfora" do braço de vetor rotativo, fornecendo comprimento do braço e ângulo de fase em relação a uma referência. Essa "metáfora" pode ser substituída por um componente X e Y, onde a magnitude da forma polar é dada por R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) e cujo ângulo teta é dado por tan ^ -1 (X / Y ) Isso pode ser visto na forma de diagrama abaixo.

insira a descrição da imagem aqui

Daqui

ATENÇÃO - não se deixe enganar pela terminologia.

Observe que o termo "número complexo" é simplesmente jargão. O uso do sqrt (-1) é uma parte útil da metáfora que permite que a aritmética funcione, mas as quantidades reais envolvidas são inteiramente reais e "comuns". Quando elementos reativos como indutores e capacitores são usados, a energia não será mais simplesmente o produto dos termos de magnitude nos vetores de tensão e corrente. ou seja, o poder de V.sin (fred) x I.sin (Josepine) não (geralmente) = VI. Isso não implica nada de especial, mágico, complexo ou imaginário sobre as variáveis envolvidas - é apenas que elas são variantes do tempo e que suas magnitudes de pico geralmente não coincidem.

Leitura extra - altamente recomendado:

Impedância elétrica

Circuito RC

Circuito LC

Calculadora de impedância complexa

Eu Asimov.

Russell McMahon
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@ Kortuk - A grande maioria dos itens acima foi escrita antes da minha resposta escrita inicial, mas eu não o publiquei nessa fase, mas ela pode ter sido adicionada no devido tempo quando melhor verificada. Como você deve saber, muitas vezes adiciono grandes quantidades de material às postagens iniciais. No caso dele, sua abordagem com cenoura e pau (sem cenoura) era bastante desmotivacional, mas parece uma pena deixar que estilos motivacionais mal direcionados atinjam seus efeitos mais normais. Alguns respondem bem o suficiente para algemas delicadas ao redor da orelha, mas não a maioria, eu encontrei. Alguns aqui discordam :-).

Russell McMahon

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Expressar capacitância e indutância como resistências imaginárias tem a vantagem de poder usar métodos conhecidos de resolução de problemas lineares com resistores para resolver problemas lineares com resistores, capacitores e indutores.

Tais problemas lineares e seus métodos bem conhecidos são, por exemplo,

Problema: calcular a resistência de dois resistores em série
Método: R = R1 + R2
também pode ser usado para calcular a impedância do resistor / capacitor / indutor em série com outro resistor / capacitor / indutor
Problema: calcular a resistência de dois resistores em paralelo
Método: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
também pode ser usado para calcular a impedância do resistor / capacitor / indutor em paralelo com outro resistor / capacitor / indutor
Problema: resolver uma rede contendo resistores, tensão CC e fontes de corrente DC
Método: resolver um sistema simultâneo de equações lineares
também pode ser usado para resolver uma rede contendo resistores, capacitores, indutores, tensão CA ou CC e fontes de corrente CA ou CC
etc.

Todas as fórmulas / métodos que funcionam com valores reais de resistência (apenas resitores) e fontes CC funcionam tão bem com valores complexos (resistores, indutores, capacitores) quanto com fontes CA.

Coalhada
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Embora não exista necessariamente qualquer razão intuitiva para a utilização de números complexos para representar uma combinação de sinais em fase e fora de fase, as regras aritméticas para números complexos se encaixam muito bem no comportamento real e interação de resistores, capacitores e indutores.

Um número complexo é a soma de duas partes: a parte real e uma parte "imaginária", que podem ser representadas por um número real multiplicado por i , definido como a raiz quadrada de -1. Um número complexo pode ser escrito na forma A + Bi , com A e B sendo números reais. Podemos então usar as regras da aritmética polinomial para agir sobre números complexos tratando i como uma variável, mas também podemos substituir i² por -1 (por exemplo, o produto de Pi × Qi é -P × Q).

Em qualquer frequência específica, pode-se determinar como uma rede de resistores, indutores e capacitores se comportará calculando a impedância efetiva de cada item e, em seguida, usando a lei de Ohm para calcular a resistência efetiva de combinações em série e paralelas e as tensões e correntes através de eles. Além disso, como resistores, capacitores e indutores são dispositivos lineares, é possível calcular como a rede se comportará quando combinações de frequências forem injetadas, calculando o que farão com cada frequência específica e, em seguida, adicionando os resultados. A aritmética complexa pode ser muito útil ao tentar analisar o comportamento de coisas como filtros, pois permite calcular a saída do filtro como uma função da entrada. Alimentou um sinal de entrada de algum número real vvolts em alguma frequência f , pode-se calcular a tensão ou a corrente em qualquer nó específico; a porção real estará em fase com a forma de onda injetada e a porção imaginária estará 90 graus fora de fase. Em vez de ter que usar equações diferenciais sofisticadas para resolver o comportamento do circuito, pode-se aritmética relativamente básica com números complexos.

supercat
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Números complexos são usados na engenharia elétrica para quantidades que possuem magnitude e fase. Impedância elétrica é a razão entre corrente e tensão. Para correntes e tensões CA, as formas de onda de corrente e tensão podem não estar em fase; a fase da impedância indica essa diferença de fase.

nibot
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Por que o voto negativo?

Nibot 25/03

Impedâncias complexas

Respostas:

Então por que?

Teoria