Derivação S = VI * / 2

Seja V e eu a tensão e a corrente instantâneas em uma carga. A partir da definição de potência, tensão e corrente, temos a relação de potência instantânea:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

O que significa que a potência em um dado instante $t$ é igual ao produto da tensão e da corrente exatamente naquele instante.

Suponho que você esteja familiarizado com o que a representação fasorial realmente significa. Apenas para afirmar que em breve: um fasor é uma abreviação matemática para representar um sinusóide em uma determinada frequência desconhecida.

Assim, $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ é uma forma abreviada para $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ . De modo semelhante: $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ significa $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$ .

Multiplicando $v(t) \cdot i(t)$ para todo $t$ , nos dá a forma de onda da potência instantânea para cada $t$ . Trabalhando nessa multiplicação:

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Como $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ , com $u = \omega t+ \phi _{V}$ e $v = \omega t+ \phi _{I}$ , podemos simplificar a equação acima para:

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Essa forma de onda é bastante interessante para si mesma: é um valor constante somado por um sinusóide $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Isso mostra claramente que o poder instantâneo não é constante com o tempo.

Com base nesse resultado, podemos ver que a potência média é igual ao componente não variável de (é bastante simples provar que matematicamente, basta resolver a integral $s(t)$ ) $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

Motivado por esse resultado, e pela bela interpretação geométrica de , esse valor foi definido como a potência real , ou seja, a potência que é realmente entregue à carga. Agora você sabe que esse poder real chamado nada mais é do que o poder médio da carga. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

Mergulhando nesse conceito um pouco (é uma pena que não posso desenhar aqui, mas vou tentar):

Seja v um vetor com magnitude || v || e fase , e eu seja um vetor com magnitude || i || e fase Se você multiplicar || i || por você tem a projeção de i sobre v . Por outro lado, é considerado o componente de i em quadratura com v $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ .

Agora você pode entender por que a potência média tem uma interpretação geométrica interessante: a potência média é a tensão multiplicada pela projeção da corrente sobre a tensão, no espaço fasorial.

Isso motivou a criação do complexo poder S como:

S = P + jQ

Com essa definição, a parte real do vetor é exatamente a potência média fornecida à carga, e a parte complexa é a potência em quadratura , chamada potência reativa (google for Power Triangle para ver a interpretação geométrica desse resultado) .

Ok, agora voltando à definição , vemos que $s(t)$ e, por definição, e para cumprir com a definição de S, é igual $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Então, como queríamos provar no início:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Então, lá vai você, o que você queria ver;)

edit : Qual é a interpretação física de Q?

Eu mostrei acima qual é a interpretação física da parte real da potência complexa, P, ou seja, a potência média fornecida à carga. Mas o que é exatamente Q, como alguém pode visualizá-lo? É baseado no fato de que cos e sin são ortogonais , e o princípio de superposição pode ser aplicado ao poder se as duas formas de onda envolvidas no cálculo são ortogonais. Vamos para a matemática, porque isso é realmente o que importa.

Usando o resultado obtido acima: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Primeiro caso: carga puramente resistiva, de modo que

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Esse é um sinusóide centrado em com a mesma amplitude (seu valor mínimo é 0 e seu valor máximo é). Vamos chamá-lo deP $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$

Segundo caso: carga puramente indutiva, de modo que

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Essa é uma forma de onda puramente oscilatório com valor médio igual a 0. Vamos chamada este resultado Q .

Terceiro caso: o caso genérico

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

Nesse caso, s (t) é exatamente a equação geral que encontramos na discussão acima. Mas podemos reescrever isso para usar o resultado dos dois casos anteriores, assim:

Primeiro, reescrevemos a equação em termos de (observe que ): $\theta$ $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ Sabendo que: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ , deixando e $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Reorganizando os termos:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Usando o resultado dos dois primeiros casos acima:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

Um resultado incrível, certo? O que isso significa?

Vamos voltar ao que estamos fazendo: calcular a potência do caso genérico em que $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$ , ou seja, resolva a equação:

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

Podemos reescrever $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ na forma de $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$ ?

Vamos tentar:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$ ) \ $

De locação $\omega t + \phi_V = u$ e $\theta = v$

Com a relação:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

We have:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Exatamente o que queríamos, reescrever i (t) como uma soma de dois componentes: um em fase com v (t) e outro em quadratura com v (t)!

Agora, o resultado do caso 3 pode ser explicado: i (t) pode ser decomposto em dois componentes, como mostrado acima, e a energia gerada por i (t) é igual à energia gerada por cada um desses componentes individualmente . Whoa, assim como superposição, mas pelo poder! ( Lembre-se de que isso só é verdade e foi comprovado acima, porque cos e pecado são ortogonais )

Então Q é a quantidade de energia gerada pelo componente de i (t) que está em quadratura com v (t). É puramente oscilatório e não possui valor médio.

P é a quantidade de energia gerada pelo componente de i (t) que está em fase com v (t). É oscilatório, mas possui um valor médio igual à potência média fornecida à carga.

E a potência complexa S , a potência total, é exatamente a soma desses dois componentes

Castilho
fonte

Obrigado por sua boa explicação! No entanto, tenho algumas perguntas: 1. Não sigo o que aconteceu com

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$ . Eu pensei que este termo seria o poder reativo, Q; Contudo,

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ . 2. Eu não entendo como você foi

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$ tp

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$ . É como se

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$ é um fasor, mas é apenas uma constante. Mais uma vez obrigado pela sua resposta!

precisa saber é o seguinte

Sim. você está certo, isso NÃO é Q. A potência reativa é definida apenas em termos da diferença de fase entre tensão e tensão, e é um valor diretamente relacionado à definição de S como fasor. É a potência que seria fornecida pela corrente em quadratura com a tensão. O componente variável no tempo não é levado em consideração, porque, nesse sentido, o que realmente importa é a potência média da carga. A parte variável EXISTE realmente existe (observe uma lâmpada incandescente, por exemplo), mas, com o tempo, a energia está relacionada apenas à parte estática de s (t). ;)

Castilho

Ok, então essa parte variável tem um nome especial? De qualquer forma, se eu entendi direito, a quantidade de I na direção de V é a potência real e a quantidade de I, perpendicular a V, é a potência complexa.

user968243

quase isso, a quantidade de I na direção de V multiplicada por V é a potência real P, a quantidade de I perpendicular a V multiplicada por V é a potência REATIVA Q, P + jQ é a potência complexa ou potência aparente;)

Castilho

Ok, isso faz sentido! Na verdade, no meu comentário anterior, eu estava perguntando qual o nome para isso: −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕI) Eu realmente pensei que era o poder reativo ... Obrigado por suas réplicas, por sinal, sou grato!

user968243

Derivação S = VI * / 2

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