Por que um circuito RC não altera a forma de um seno de entrada?

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Na figura acima, a onda quadrada vermelha é a entrada e a onda azul é a saída de um circuito RC. Não consigo entender por que obtenho uma onda senoidal perfeita quando alimento uma onda senoidal como entrada. O capacitor precisa levar algum tempo para carregar e descarregar. Portanto, minha intuição diz que a saída é uma onda periódica cujo período é metade da entrada. Alguém poderia esclarecer isso para mim? Obrigado!


No domínio do tempo, não deveria fazer algo assim?
Em t = 0, o capacitor tem 0 voltagem. Como a tensão de entrada é grande, o capacitor continua carregando e encontra a onda senoidal de entrada quando esta cai.

Então a tensão de entrada fica mais baixa que a tensão do capacitor, de modo que o capacitor começa a descarregar e novamente encontra a onda senoidal de entrada quando está subindo.

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Hiiii
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A onda sin é uma forma de onda muito especial. A corrente do capacitor é proporcional à taxa de variação da tensão de entrada. Na liga matemática, podemos dizer que a corrente do capacitor é a derivada da tensão no capacitor em relação ao tempo . E por "acidente" a derivada da função seno é a função cosseno (uma onda senoidal de mudança de fase). Eu=CdVdt
G36
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Eu diria que @ G36 acertou em cheio. A saída está distorcida. Mas a forma de onda distorcida passa a ter o mesmo formato da entrada, apenas menor e com uma mudança de fase. Além disso, você pode ver como a "distorção" se acumula se você alimentar um "seno" a partir de t = 0 (na verdade, um seno é um seno somente se começou a ser um seno há um tempo infinito atrás). Você verá que a saída está muito distorcida (tem uma forma diferente) até que, quando o estado estacionário for atingido, ela se transformar em um seno alterado.
Sredni Vashtar
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... e, a propósito, tudo isso 'parecido' se resume ao fato de que a função exponencial é auto-semelhante (ela se parece com ela mesma, não importa como você se traduz no tempo). Ele também possui uma derivada que se parece exatamente com ela mesma; portanto, quando você adiciona a identidade de Euler, vê por que os senos e os cossenos são tão especiais.
Sredni Vashtar
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O circuito é um sistema linear e a resposta em estado estacionário a um sinusóide de entrada será outro sinusóide na mesma frequência da entrada. Observe que estado estacionário significa a região do eixo do tempo em que a parte exponencial real da resposta completa caiu para zero.
Chu
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Se você possui as ferramentas certas no domínio do tempo, é ainda mais simples. Seno, ou mais geralmente qualquer função cisoidal (isto é, ) são vectores de qualquer sistema LTI eigen. Isso é tudo. y=e(σ+jω)t
precisa saber é

Respostas:

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Aprenda a pensar no espaço de frequências. Essa é uma daquelas coisas que é difícil de ver no domínio do tempo, mas cai bem no domínio da frequência.

Uma onda senoidal é uma frequência "pura" única. Um filtro RC é um sistema linear que não pode distorcer, o que significa que não pode criar frequências na saída que não estão na entrada. Quando você coloca apenas uma frequência, a saída pode conter apenas essa frequência. As únicas perguntas são: qual será a amplitude relativa e a mudança de fase da entrada para a saída.

A razão pela qual uma onda quadrada não resulta em uma onda quadrada é porque uma onda quadrada contém muitas frequências. Cada um deles pode ser atenuado e a fase alterada independentemente. Quando você altera a força relativa e as fases dos harmônicos, obtém um sinal de aparência diferente no domínio do tempo.

Uma onda quadrada pode ser pensada como a superposição de uma série infinita de senos. São todos os harmônicos ímpares (múltiplos inteiros ímpares da frequência fundamental). A amplitude desses harmônicos diminui em frequências mais altas.

Você pode passar uma onda quadrada através de vários filtros RC passa-baixas em sucessão, cada um com uma frequência de rolloff bem abaixo da frequência da onda quadrada. Após cada filtro, o resultado se parece cada vez mais com um seno. Isso ocorre porque esses filtros atenuam as frequências altas mais do que as baixas. Isso significa que os harmônicos da onda quadrada são mais atenuados que o fundamental. Se você fizer isso o suficiente, os harmônicos terão tão pouca amplitude em relação ao fundamental, que tudo que você vê é fundamental. Essa é uma frequência única, então um seno.

Adicionado

Não é assim que qualquer filtro RC reagiria:

Para um filtro passa-baixa RC, quando a frequência de entrada está bem abaixo do rolloff, a saída geralmente segue apenas a entrada. Bem acima da frequência de rolloff, a saída é parte integrante da entrada.

De qualquer forma, não haverá mudanças repentinas na inclinação da saída, como você mostra. Não há nada de especial no cruzamento de entrada acima ou abaixo da saída, pois isso ocorre sem problemas. Você obtém um ponto de inflexão na saída, mas é uma corcova suave, pois a entrada se aproxima sem problemas antes e sai sem problemas depois.

Pode ser instrutivo escrever um loop para simular isso sozinho. Tudo o que você precisa fazer em cada etapa é alterar a saída por uma pequena fração da diferença instantânea da entrada menos a saída. É isso aí. Em seguida, jogue uma onda senoidal e veja como a saída segue suavemente para formar outro seno, embora com atraso de fase e amplitude menor.

Olin Lathrop
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Obrigado pela explicação clara (: O domínio da frequência torna mais fácil entender por que as entradas sinusóides produzem saídas sinusóides! Mas ainda é meio mágico para mim como todos esses circuitos conhecem séries de
quatro camadas
Ei, desculpe, eu entendo no domínio da frequência, mas ainda não consegui convencer meu raciocínio no domínio do tempo -_- Você pode consultar minha pergunta atualizada. Publiquei uma nova foto. Obrigado novamente :)
Hiiii 4/17
@Iiii, não vejo que uma forma de onda é 'dividida' em forma de onda sinusoidal. Veja que todas essas formas de onda sinusoidais separadas existem e que temos uma visão 'falsa' delas como uma forma de onda complexa única. A forma de onda complexa única é a visão de nível superior, não a norma.
TonyM
@ TonyM Obrigado, acho que estou começando a entender no domínio da frequência. Mas estou ficando bagunçado no momento em que começo a pensar no que acontece no domínio do tempo. Poderia, por favor, olhar para a pergunta atualizada. Eu adicionei alguma explicação para a imagem ...
Hiiii
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@Hiii No domínio do tempo, se a entrada for zero para t <= 0 e uma onda senoidal para t> = 0, a saída não será uma onda senoidal imediatamente após o tempo t = 0. Haverá uma resposta transitória, que morre com uma constante de tempo de 1 / RC, sobreposta à onda senoidal. No domínio da frequência, você "ignora" esse transitório, porque está considerando a situação em que a entrada é uma onda senoidal para todos os tempos, tanto no passado quanto no futuro.
alephzero
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Lembre-se de que a taxa de variação da tensão do capacitor depende da diferença de tensão entre a tensão de entrada e a tensão do capacitor. Seu gráfico não representa isso.

Quando a entrada e o capacitor estão em 0 V e a entrada começa a aumentar, a tensão do capacitor deve começar a subir lentamente, pois a tensão de entrada (e, portanto, a diferença de tensão) também é pequena.

Quando a entrada atinge o pico, a diferença de tensão é máxima, e aqui a tensão do capacitor aumenta mais rapidamente. Quando a tensão de entrada começa a diminuir, a taxa de carregamento do capacitor também diminui. Depois que as duas tensões são atingidas, a diferença é novamente pequena para começar, portanto a taxa de descarga também é pequena. Acontece que isso resulta em outra onda senoidal.

O gráfico abaixo foi simulado (com uma planilha) com a regra mencionada acima. A diferença de tensão entre a tensão de entrada e a do capacitor é maior um pouco antes do pico da tensão de entrada.

2π

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Em seu gráfico, o capacitor descarrega mais rapidamente logo após o encontro das duas tensões, mas não é aí que a diferença de tensão é maior. Com uma entrada de onda quadrada, seria, já que a tensão de entrada não mudaria novamente até mais um "passo" na onda quadrada. Uma entrada de onda senoidal, no entanto, muda constantemente.

ilkkachu
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Há algo fora de lugar aqui. Eu obtenho diferentes resultados qualitativos com a minha escolha de filtro RC lowpass (tampa em série com resistência, vin em toda a série, vout em toda a resistência). Eu recebo quadratura entre Vcap e Icap (e, portanto, Vout), mas nada parecido com o posicionamento da linha verde entre Vin e Vcap (cujo atraso está vinculado ao RC). Estamos usando o mesmo circuito?
Sredni Vashtar 5/17
Onde as linhas vermelha e azul se cruzam (ou seja, onde a tensão de entrada e capacitor são iguais) deve estar no máximo / mínimo local da saída ou - como parece ser o caso das parcelas - fracionariamente à frente do valor mínimo / max points?
TripeHound 5/06
A simulação no Spice mostra o Vcap e o Icap fora de fase em 90 graus constantes, enquanto o Vcap fica com Vin por um período de tempo correspondente ao RC. As linhas verdes não tinham um significado específico neste gráfico (deveria estar no gráfico Vcap, Icap), portanto é bom que elas se foram. Vin e Vout estão fora de fase de 90 graus mais o atraso.
Sredni Vashtar 5/17
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Você obterá uma onda senoidal a partir de uma onda senoidal se sua constante de tempo RC permitir que o capacitor carregue / descarregue na mesma taxa ou mais rápido conforme a forma de onda de entrada muda.

Sua forma de onda de saída será atrasada pelo capacitor carregando e descarregando um pouco atrás das alterações na forma de onda de entrada, conhecidas como atraso de fase.

Você encontrará muita teoria e matemática por trás disso na internet, se ainda não a tiver.

TonyM
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Sua primeira frase está tecnicamente correta, mas deixa a impressão errônea de que você não obteria um seno em resposta a um seno em determinadas constantes de tempo de RC. Um seno em um filtro passa-baixo RC sempre produz um seno. As únicas perguntas são a quantidade de atenuação e mudança de fase, mas a função sempre será um seno.
precisa
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@OlinLathrop, eu vejo. Eu estava tentando manter uma 'visão DC', se você preferir, mantendo o comportamento de carga de um circuito RC. Portanto, uma onda senoidal de alta frequência em um filtro passa-baixa (por exemplo, 1 MHz em um RC passa-baixa fc = 1 kHz) não produzirá nada. Matematicamente falso, mas é o que acontece se você colocar um escopo em um. Eu quase escrevi 'Esta é uma visão não matemática disso' no para3, para mostrar que estou tentando ter uma ideia. Faz mais sentido, bom, ruim ou precisa de edição?
TonyM
Eu acho que você deve adicionar a atenuação. O filtro "desacelera" a onda senoidal mais à medida que a frequência da onda senoidal de entrada aumenta, o que não altera a forma, mas altera a fase relativa e a amplitude. A resposta aceita também me parece incompleta a esse respeito.
Todd Wilcox
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Para mim, o domínio do tempo aqui é mais explicativo. Se você olhar para o seu primeiro gráfico, verá o que aparece como uma função de etapa (no primeiro semestre). Ou seja, você repentinamente aplica uma voltagem e depois a mantém constante. Isso significa que o capacitor tentará atingir a tensão aplicada de acordo com suas próprias leis, aqui do formulário 1-exp(-x).

Se, por outro lado, você aplicar uma onda senoidal, durante o mesmo período não terá mais um aumento acentuado de tensão e não permanecerá constante: aumentará cada vez mais devagar, até que um pico seja atingido, então diminuirá cada vez mais rápido, sumetricamente em torno de seu pico. Isso significa que o capacitor primeiro carrega, mais devagar e mais devagar, depois descarrega cada vez mais rápido. O que você desenhou é o resultado de (no mínimo) uma carga contínua; o seno também descarregará.

RCpecado(x)=Euexp(-Eux)-exp(Eux)2

um cidadão preocupado
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