Ruído de corrente térmica infinito em um fio?

A densidade do ruído térmico pode ser escrita como:

Isso parece um pouco feio, mas talvez se pensarmos um pouco mais sobre o que é um fio de resistência zero, podemos descobrir por que não conseguiremos algo fisicamente irrealista.

Supercondutores

Uma maneira de obter resistência zero seria usar supercondutores. Estes são materiais muito estranhos - eles têm enormes efeitos quânticos, mas a teoria do ruído Johnson-Nyquist que você está usando na sua pergunta é semi-clássica, portanto, podemos razoavelmente esperar que não funcione quando muitas coisas quânticas estão acontecendo.

De fato, em um supercondutor, existem dois 'fluidos' condutores compartilhando o mesmo espaço. Um deles, o fluido normal, é feito de elétrons e age como um elétron em um material normal. Isso terá flutuações térmicas exatamente como as que causam ruído na Johnson Nyquist. O outro, chamado superfluido, é feito de pares de cooper e tem resistência zero. Portanto, ele fará um curto-circuito em qualquer corrente ou tensão externa (que é o que transforma os supercondutores em condutores perfeitos). Mas também reduzirá a tensão do ruído do fluido normal. Toda flutuação térmica no material será imediata e completamente cancelada por um movimento no superfluido, de modo que não haverá ruído Johnson-Nyquist. Pode haver outro ruído, mas esse é outro assunto.

Não supercondutores

Isso nos deixa fazendo um fio de resistência zero a partir de materiais normais, o que é obviamente impossível. Portanto, o problema não é que a corrente seja infinita, é que ela tende ao infinito à medida que reduzimos a resistência. Para ver se isso faz sentido, temos que pensar sobre o que realmente significa reduzir a resistência a zero.

A resistência de um bloco de material é uma constante dependente do material vezes o comprimento dividido pela área da seção transversal. As duas maneiras de obter resistência zero são:

1. Para aumentar a área até o infinito. Tendo uma corrente de ruído infinita em uma área infinita parece razoável, a densidade de corrente é a mesma que seria para um bloco finito de material.

2. Reduzir o comprimento para zero. Este é um pouco mais complicado e não tenho certeza se minha solução está correta. Mas acho que isso se resume a uma coisa de geometria. Se a circunferência do loop tende a zero, a espessura do fio também deve tender a zero, ou não é mais um loop de fio. Isso significa que há uma resistência mínima, na qual é possível aplicar razoavelmente o teorema de Johnson-Nyquist. Além disso, você tem uma placa de cobre com um orifício e precisa analisar isso de maneira diferente. Existe todo um subcampo da física chamado eletrodinâmica flutuante e você provavelmente encontrará a resposta detalhada em algum lugar.

Isso parece estranho! Entendo que a potência final do ruído não depende da resistência, mas ainda assim a densidade infinita do ruído parece absurda.

Não, não é estranho nem absurdo, porque você está dividindo 0 por 0:

Você obtém energia da corrente ao quadrado e multiplicando por R; portanto, obtém um R no numerador e outro no denominador e ambos cancelam:

$\require{cancel}P = \Delta f(nd_I)^2R = \Delta f \sqrt{\frac{k_B T}{R}}^2 R = \Delta f\frac{k_B T}{\cancel{R}} \cancel{R} = \Delta fk_BT$
que é independente de R.

Portanto, mesmo que a densidade de ruído atual seja infinita, a potência do ruído não é.

a densidade de ruído ainda infinita parece absurda.

Você está assumindo $R=0$, o que é igualmente absurdo. Mas sim, se você tem a menor tensão em um sistema sem resistência, obtém corrente infinita. Ohm.

No entanto, a fórmula do ruído térmico é realmente derivada do caso de tensão (ou seja, você obtém uma flutuação no nível de energia das cargas (elétrons), e elas são observáveis ​​como flutuação de tensão). Então, em um supercondutor, essa maneira de ver o ruído térmico se decompõe.

Parece estranho. De fato está errado! Jack B fez o ponto crucial : o ruído Johnson-Nyqvist é um modelo semi-clássico, ou seja, é uma aproximação simplificada que funciona bem no limite de sistemas de grande escala (ou seja, algo mais do que algumas centenas de átomos) a alta temperatura (que em física de estado sólido significa mais ou menos, não é resfriada com hélio líquido ). É nessas condições que o comportamento mensurável "parece clássico", porque as flutuações térmicas destroem a coerência de fase que seria necessária para que os fenômenos quânticos macroscópicos como supercondutividade ou efeito de salão quântico aparecessem. Acontece que, em eletrônica, basicamente sempre trabalhamos nesse regime clássico por razões práticas óbvias.

Mas as mesmas flutuações térmicas (colisões de fônons) inevitavelmente também causam alguma resistividade diferente de zero. Então você só pode pegar o limite$R=\tfrac{\rho\cdot\ell}{A}\to 0$ fazendo a seção transversal $A$ infinitamente grande (nesse caso, como Jack disse, é completamente razoável que as correntes também se tornem infinitas, assim como a massa e tudo mais) ou reduzindo o comprimento $\ell$ para praticamente zero, caso em que você não possui o sistema em larga escala necessário para a descrição semiclássica.

Leia a catástrofe ultravioleta , que é um paradoxo quase análogo em termos de energia de radiação e, de fato, foi um dos incentivos para o desenvolvimento da teoria da mecânica quântica, visto que a física clássica evidentemente deu resultados falsos.