Qual é a taxa "Nyquist" para amostragem da derivada de um sinal?

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Antecedentes: estou amostrando a corrente através de um capacitor. O sinal de interesse é a tensão no capacitor. Integrarei digitalmente a medição de corrente para obter a tensão.

Pergunta: Dado que a voltagem no capacitor é limitada em largura de banda e estou amostrando a derivada dessa voltagem, qual é a taxa de amostragem mínima necessária para reconstruir perfeitamente o sinal de voltagem das amostras atuais?

Se não houver resposta enlatada para essa pergunta, qualquer coisa que possa me indicar a direção certa seria útil. Obrigado desde já por qualquer ajuda!!

VIANDERN
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Você quer "reconstruir perfeitamente" o sinal original das amostras? O que você quer dizer com isso?
precisa saber é o seguinte
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A taxa de Nyquist é duas vezes a frequência mais alta no sinal original.
Peter Karlsen
@Dweerberkitty como Dave mencionou, o sinal é apenas um sinal :). Em uma observação séria, se você estiver usando sistemas de medição real, poderá haver atrasos que terão impacto na sua operação derivada. Portanto, se você responder por eles (com alguma sorte, se o sistema for simples), você poderá derivar analiticamente o período de amostragem necessário.
Raaja 29/08/19
"A voltagem no capacitor é limitada em largura de banda". Por quê?
Rodrigo de Azevedo
@RodrigodeAzevedo, isso é apenas uma suposição para simplificar a declaração do problema. Na realidade, a largura de banda não é limitada, mas a faixa de frequência de interesse está bem definida nesse problema. Obrigado!
VIANDERN 31/08/19

Respostas:

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Adotar uma derivada (ou uma integral) é uma operação linear - ela não cria nenhuma frequência que não estava no sinal original (nem remove nenhum), apenas altera seus níveis relativos.

Portanto, a taxa de Nyquist para a derivada é a mesma do sinal original.

Dave Tweed
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É verdade em um mundo ideal em que há sinais perfeitamente ilimitados de banda, filtros passa-baixas ideais e nenhum ruído térmico.
Rodrigo de Azevedo
Todo o saldo do SNR muda. Um pequeno componente de alta frequência, que pode ser um alias, mas não muito devido ao seu tamanho, pode se tornar um monstro considerável, com certeza causará grandes componentes de baixa frequência na amostra.
Scott Seidman
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Tomar a derivada multiplica a transformação por s, que efetivamente gira o gráfico de magnitude no sentido anti-horário. Assim, podem muito bem ser componentes de frequência mais alta na derivada. Uma maneira mais sucinta de dizer isso é que a derivação amplifica o conteúdo de alta frequência.

1s+1

 bode(tf(1, [ 1 1 ])) 

insira a descrição da imagem aqui

ss+1

bode(tf([1 0], [ 1 1 ])) 

insira a descrição da imagem aqui

A derivada neste caso claramente possui componentes de frequência mais alta. Talvez mais corretamente, ele possui componentes de alta frequência muito maiores que o não derivado. Pode-se optar por amostrar o primeiro sinal a 200 rads / s com alguma confiança, pois a energia é muito pequena na taxa nyquist, mas o aliasing seria substancial se você amostrasse a derivada na mesma taxa.

Assim, depende da natureza do sinal. A derivada de um sinusóide será uma sinusóide da mesma frequência, mas a derivada do ruído limitado da banda terá componentes de frequência mais altos que o ruído.

Edição: Em resposta ao voto negativo, eu vou martelar esta casa com um exemplo concreto. Deixe-me pegar uma onda senoidal e acrescentar algum ruído normal aleatório (um décimo da magnitude da onda senoidal)

insira a descrição da imagem aqui

O fft deste sinal é:

insira a descrição da imagem aqui

Agora, deixe-me tomar a derivada do sinal: insira a descrição da imagem aqui

e o fft do derivado

insira a descrição da imagem aqui

A subamostragem, é claro, alias o sinal ou a derivada. Os efeitos da subamostragem serão modestos para o sinal e o resultado da subamostragem da derivada será absolutamente inútil.

Scott Seidman
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Não sei ao certo o que você acha que está tramando aqui, mas não são sinais de banda limitada.
Dave Tweed
A transformada de Fourier de um sinal e a transformada de Fourier de sua derivada.
21818 Scott Seidman
Que língua é essa, afinal?
Dave Tweed
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Ah Nesse caso, tf()não representa um sinal, representa uma função de transferência. Definitivamente não é limitado por banda.
Dave Tweed
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Ainda falta o ponto em que o sinal é ilimitado por banda. Você está adicionando ruído não ilimitado ao sinal para expressar sua opinião, o que está fora do escopo da pergunta. Sim, essa é uma consideração prática, mas a questão (a meu ver) é teórica.
Dave Tweed
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Você não pode.

A integração mostrará apenas como a tensão muda durante o tempo de amostragem.

O capacitor sempre começará com alguma carga presente, portanto haverá alguma tensão inicial. Seu cálculo não pode conhecer essa tensão, portanto, não pode saber a tensão real no capacitor durante o tempo de medição. Isso deve ser familiar nas aulas de matemática - você sempre integra entre dois pontos.

Você também tem um problema que, embora suas amostras de medição atuais sejam limitadas por Nyquist, a corrente real através do capacitor pode não ser. A menos que você possa garantir que a corrente através do capacitor tenha um filtro passa-baixo rígido em algum lugar abaixo do limite de Nyquist, você nunca poderá medir a corrente com precisão suficiente para reproduzir a tensão. Preciso deixar claro que isso é realmente matematicamente impossível, porque exigiria uma taxa de amostragem infinita.

Mas se você conhece a tensão de partida e se a corrente real através do capacitor é adequadamente filtrada com passa-baixa, DaveTweed está certo de que o limite de Nyquist para a integral é o mesmo que para os dados amostrados.

Graham
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Não vejo por que você precisa fazer a diferença entre a corrente real através do capacitor e o valor medido com banda limitada. O que há de tão mágico nessa situação que a conhecida linearidade de derivadas, filtros e integração não se aplica mais?
pipe
@pipe Em uma palavra, amostragem. Suponha que estamos amostrando a 1kHz. Agora, suponha que tenhamos um pico de corrente de 0,5 ms. A versão amostrada nunca verá o pico, mas a tensão real do capacitor certamente o verá. Então você tem os erros residuais entre todas as formas de integração digital e o valor real. E eu nem comecei em nada relacionado à resolução, que é mais uma lata de worms.
Graham
Mas a energia em que o pulso vai espalhar-se em bandas que o amostrador vai ver. Por exemplo: um trem de pulsos com pulsos muito curtos, após a limitação da banda, atingirá um nível CC ligeiramente elevado. A área do seu pulso ainda será a mesma e a integração da versão limitada à banda acaba com o mesmo resultado.
pipe