Por que usamos

Na análise de CA, quando lidamos com ou . Mas para uma transformação de Laplace, .$s=j\omega$$sL$$1/sC$$s=\sigma+j\omega$

Desculpe por ser ambíguo, mas gostaria de conectar as perguntas abaixo:

• Por que sigma é igual a zero?
• A frequência neper está conectada a isso?
• O sigma é igual a zero, pois o sinal de entrada é um sinusóide de constante ?$\pm V_{max}$

Claro, , por definição. O que está acontecendo é que σ está sendo ignorado porque é assumido como zero. A razão disso é que estamos analisando a resposta do sistema a sinais sinusoidais periódicos (e, portanto, sem deterioração), pelos quais Laplace reduz convenientemente para Fourier ao longo do eixo imaginário. O eixo real no domínio de Laplace representa fatores exponenciais de decaimento / crescimento que os sinais puros não possuem e que Fourier não modela.$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

Para análise de CA, supõe-se que o circuito tenha fontes sinusoidais (com a mesma frequência angular ) e que todos os transientes tenham se deteriorado. Esta condição é conhecida como estado estacionário sinusoidal ou estado estacionário AC .$\omega$

Isso permite que o circuito seja analisado no domínio fasorial .

Usando a fórmula de Euler , temos:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

O fasor associado a é então → V a = A e j ϕ, que é apenas uma constante complexa que contém as informações de magnitude e fase do sinal no domínio do tempo.$v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

Conclui-se que, nessas condições, podemos analisar o circuito acompanhando as tensões e correntes dos fasores e usando as seguintes relações:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

Em seguida, recuperamos a solução no domínio do tempo através da fórmula de Euler.

Agora, existe uma conexão profunda entre a análise fasorial e a análise de Laplace, mas é importante ter em mente o contexto completo da análise de CA, que é:

(1) o circuito possui fontes sinusoidais (com a mesma frequência )$\omega$

(2) todos os transientes se deterioraram

A razão pela qual é escolhido para avaliar sinais CA é que ele permite converter a transformação de Laplace em Fourier.$S=j\omega$

$\sigma=0$

Você pode encontrar um pouco mais nesta página de Stanford .

A análise da função de transferência de transformação de Laplace (TF) fornece a resposta completa a um sinal de entrada senoidal de t = 0. A solução geralmente contém termos transitórios, que decaem para zero exponencialmente, e termos de estado estacionário que permanecem após o desaparecimento dos exponenciais. Quando temos os polos e zeros de um TF, por exemplo, s = -a + jw, a parte '-a' fornece a resposta exponencial (e ^ -at) e a parte jw fornece a resposta sinusoidal no estado estacionário: (e ^ jwt) = cos (peso) + jsin (peso). Se estivermos interessados ​​apenas na parte do estado estacionário da resposta (como é o caso na análise de resposta em frequência), podemos apenas usar a substituição s = jw no TF.

Observe que e ^ jx = cos (x) + jsin (x) é 'Identidade de Euler' e é uma das relações mais importantes e úteis em ciência e engenharia.

Isso é usado apenas para "Sin" e "Cos", que é o caso do sinal CA. Nota: A transformação local de sin (at) ou cos (at) "1 / jw + a" ou "jw / jw + a" que Isso pode ser comprovado usando a identidade do pecado e cos usando a identidade de Euler, que é basicamente apenas 2 exponenciais e o lugar do exponencial possui apenas a parte imaginária "jw".

Vou escrever a prova e publicá-la aqui. :)

Se você observar a fórmula das transformadas de Fourier e Laplace, verá que 's' é transformada de Laplace substituída por 'jw' na transformação de Fourier. É por isso que você pode obter a transformação de Fourier da transformação de Laplace substituindo 's' por 'jw'.