Diferença entre resposta natural e resposta forçada?

Referência

Segundo post no EdaBoard.com

A resposta temporal de um sistema é a evolução temporal das variáveis. Nos circuitos, essas seriam as formas de onda de tensão e corrente versus tempo.

Resposta natural é a resposta do sistema às condições iniciais com todas as forças externas definidas em zero. Em circuitos, essa seria a resposta do circuito com condições iniciais (correntes iniciais em indutores e tensão inicial em capacitores, por exemplo) com todas as tensões independentes definidas em zero volts (curto-circuito) e fontes de corrente definidas em zero amperes (circuito aberto ) A resposta natural do circuito será ditada pelas constantes de tempo do circuito e, em geral, pelas raízes da equação das características (pólos).

Resposta forçada é a resposta do sistema a um estímulo externo com zero condições iniciais. Nos circuitos, essa seria apenas a resposta do circuito à tensão externa e à fonte de corrente, forçando a função ... continue lendo

Questões

1. Como pode haver uma resposta natural? Algo precisa ser inserido para criar uma saída? A maneira como vejo isso é como abrir a torneira principal e depois abrir a torneira e esperar que a água saia.

2. Como podemos v(t)(a partir do link acima) ser resolvidos se não sabemos dv(dt)para encontrar a resposta natural?

3. Se você puder expandir os 2 conceitos (resposta natural e resposta forçada), explicando suas diferenças nos termos de Layman, seria ótimo.

1. Dada uma equação 10dy/dt + 24y = 48significa rate of change of output + 24 * output = 48. As condições iniciais são y(0)=5e dy/dt=0.
   • Isso significaria que a entrada é 48/(24*5)uma suposição correta? A solução para isso é 0.4qual é a entrada constante?

Pense em um sistema mecânico simples, como uma barra elástica ou um bloco preso a uma mola contra a gravidade, no mundo real. Sempre que você pressionar o sistema (para o bloco ou para a barra), eles iniciarão uma oscilação e logo pararão de se mover.

Existem maneiras de analisar um sistema como este. As duas maneiras mais comuns são:

1. Solução completa = solução homogênea + solução específica

2. Resposta completa = Resposta natural (entrada zero) + resposta forçada (estado zero)

Como o sistema é o mesmo, ambos devem resultar na mesma equação final representando o mesmo comportamento. Mas você pode separá-los para entender melhor o que cada parte significa fisicamente (especialmente o segundo método).

No primeiro método, você pensa mais do ponto de vista de um sistema de LTI ou de uma equação matemática (equação diferencial), onde é possível encontrar sua solução homogênea e, em seguida, sua solução específica. A solução homogênea pode ser vista como uma resposta transitória do seu sistema a essa entrada (mais suas condições iniciais) e a solução específica pode ser vista como o estado permanente do seu sistema após / com essa entrada.

O segundo método é mais intuitivo: resposta natural significa qual é a resposta do sistema à sua condição inicial. E a resposta forçada é a resposta do sistema a essa entrada, mas sem condições iniciais. Pensando no exemplo de barra ou bloco que eu dei, você pode imaginar que em algum momento você empurrou a barra com as mãos e a segurou lá. Este pode ser o seu estado inicial. Se você simplesmente deixar passar, oscilará e depois parará. Esta é a resposta natural do seu sistema a essa condição.

Além disso, você pode deixá-lo ir embora, mas continua dando energia extra ao sistema, pressionando-o repetidamente. O sistema terá sua resposta natural como antes, mas também mostrará um comportamento extra devido aos seus hits extras. Quando você encontra a resposta completa do seu sistema pelo segundo método, pode ver claramente qual é o comportamento natural do sistema devido a essas condições iniciais e qual é a resposta do sistema se ele tiver apenas a entrada (sem condições iniciais). Os dois juntos representarão todo o comportamento do sistema.

E observe que a resposta do estado zero (resposta forçada) também pode consistir em uma porção "natural" e uma porção "particular". Isso ocorre porque mesmo sem condições iniciais, se você fornecer uma entrada para o sistema, ele terá uma resposta transitória + resposta permanente do estado.

Resposta de exemplo: imagine que sua equação represente o seguinte circuito:

Qual sua saída y (t) é a corrente do circuito. E imagine que sua fonte é uma fonte DC de + 48v. Dessa forma, fazendo a soma da tensão do elemento neste caminho fechado, você obtém:

$\epsilon=V_L+V_R$

Podemos reescrever a tensão do indutor e a tensão do resistor em termos de corrente:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Se tivermos uma fonte de energia de + 48VDC e L = 10H e R = 24Ohms, então:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

qual é exatamente a equação que você usou. Portanto, sua entrada no sistema (circuito RL) é apenas sua fonte de alimentação de + 48v. Portanto, sua entrada = 48.

As condições iniciais que você tem são y (0) = 5 e y '(0) = 0. Fisicamente, isso representa que, no momento = 0, minha corrente do circuito é 5A, mas não está variando. Você pode pensar que algo aconteceu anteriormente no circuito que deixou uma corrente no indutor de 5A. Portanto, naquele momento dado (momento inicial), o peitoril ainda possui aqueles 5A (y (0) = 5), mas não está aumentando ou diminuindo (y '(0) = 0).

Resolvendo:

$Ae^{st}$

$\epsilon=0$

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2,4$

Assim,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2,4t}$

Como sabemos que i (0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2,4 . 0}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2,4t}$

$t=+\infty$

Agora podemos encontrar a solução específica para a equação que representará o estado permanente devido à presença da fonte de alimentação (entrada):

$i(t)=c$$c$

Assim,

$\frac{di}{dt}=0$

então,

$48 = 0.10 + 24c$

$c=2$

$i(\infty)=2$

o que também faz sentido porque temos uma fonte de alimentação CC. Portanto, após a resposta transitória de ligar a fonte de alimentação CC, o indutor se comportará como um fio e teremos um circuito resistivo com R = 24Ohms. Então devemos ter 2A de corrente, já que a fonte de alimentação possui 48V.

Mas observe que, se eu apenas adicionar os dois resultados para encontrar a resposta completa, teremos:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t}$

Agora eu estraguei tudo no estado transitório, porque se eu colocar t = 0, não encontraremos mais i = 5 como antes. E temos que encontrar i = 5 quando t = 0, porque é uma dada condição inicial. Isso ocorre porque a resposta do estado zero tem um termo natural que não existe e também tem o mesmo formato que encontramos anteriormente. Adicionando lá:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{st}$

A constante de tempo é a mesma, então apenas nos deixou B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{-2,4t}$

E sabemos que:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$

Assim,

$B=-2$

Então, sua solução completa é:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} - 2e^{-2,4t}$

você pode pensar neste último termo que consideramos um termo de correção da resposta forçada para corresponder às condições iniciais. Outra maneira de encontrá-lo é imaginar o mesmo sistema, mas não sem condições iniciais. Então, resolvendo tudo de novo, teríamos:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t}$

Mas como agora não estamos considerando as condições iniciais (i (0) = 0), então:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t} = 0$

E quando t = 0:

$A=-2$

portanto, a resposta forçada (estado zero) do seu sistema é:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2,4t}$

É um pouco confuso, mas agora você pode ver as coisas de diferentes perspectivas.

Soluções homogêneas / particulares:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2,4t}$

O primeiro termo (2) é a solução específica e representa o estado permanente. O restante do lado direito é a resposta transitória, também chamada solução homogênea da equação. Alguns livros chamam isso de resposta natural e resposta forçada, pois a primeira parte é a parte forçada (devido à fonte de alimentação) e a segunda parte é a parte transitória ou natural (característica do sistema). Esta é a maneira mais rápida de encontrar a resposta completa, eu acho, porque você só precisa encontrar o estado permanente e uma resposta natural uma vez. Mas pode não estar claro o que está representando o que.

-Zero de entrada / estado zero:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2,4t} + 5e^{-2,4t}$

$2 - 2e^{-2,4t}$

$5e^{-2,4t}$

Algumas pessoas também chamam esse formato de resposta Natural / Forçada. A parte natural seria entrada zero e a parte forçada seria o estado zero, que por sinal é composto por um termo natural e um termo particular.

Novamente, todos eles fornecerão o mesmo resultado que representa todo o comportamento da situação, incluindo a fonte de energia e as condições iniciais. Observe que, em alguns casos, pode ser útil usar o segundo método. Um bom exemplo é quando você está usando convoluções e pode encontrar a resposta ao impulso do seu sistema com o estado zero. Portanto, quebrar esses termos pode ajudá-lo a ver as coisas com clareza e também a usar um termo adequado para convolver.

Como pode haver uma resposta natural? Algo precisa ser inserido para criar uma saída?

Se ajudar, pense na resposta natural como a resposta forçada a uma entrada de impulso.

A maneira como vejo isso é como abrir a torneira principal e depois abrir a torneira e esperar que a água saia.

Imagine que o cano principal de água esteja conectado a um grande tanque de retenção usado nos sistemas de água de poços e feche a válvula ao cano principal.

O tanque foi enchido com água e pressurizado à pressão principal da água antes de você fechar a válvula. Essa é a condição inicial .

Se você abrir a torneira, a água sairá . O tanque de retenção fornecerá água por um período de tempo, à medida que o tanque de retenção se esvazia, e a pressão na torneira diminui. Esse fluxo cada vez menor de água e a queda da pressão seriam a resposta natural do sistema.

Agora, após o tanque esvaziar, você abre rapidamente a válvula principal da água enquanto a torneira ainda está aberta.

A maior parte do fluxo de água é inicialmente para "carregar" o tanque de retenção e, à medida que o tanque enche e a pressão aumenta, a água flui a uma taxa crescente da torneira até que o tanque esteja cheio e o fluxo e a pressão se estabilizem.

Essa é a resposta forçada a uma entrada de etapa .

Esse é o problema dos livros de texto que não definem claramente tudo para que todos possam entender as definições. A resposta natural está realmente falando de um sistema que (em algum momento) foi 'carregado', de modo que os elementos de armazenamento de energia contenham uma quantidade de energia inicial, que pode se traduzir em uma tensão inicial em um capacitor ou uma corrente inicial em um indutor. Isso resulta nos valores de condição inicial para capacitores ou indutores. Então, no momento t = 0, supõe-se que a fonte mágica responsável por energizar o circuito seja removida instantaneamente. Portanto, se a fonte mágica tivesse sido uma fonte de tensão, "removê-la" poderia significar removê-la fisicamente ou retirá-la do circuito. Então, no tempo t = 0, a resposta natural será apenas o comportamento de talvez uma corrente através de um indutor ou capacitor ou tensão através de um capacitor ou indutor. E o circuito é alimentado apenas pelos componentes carregados inicialmente (porque assumimos que não há entrada de fonte 'externa' para o tempo t = 0 em diante).

Portanto, para a resposta natural, é realmente um caso em que 'existia' alguma entrada externa para produzir as condições iniciais nos indutores e capacitores. Agora, se o sistema não fosse carregado no início, de modo que todas as tensões e correntes do capacitor e do indutor fossem nulas, então qual seria a resposta natural do sistema? Resposta: zero.

Agora, a resposta forçada é a resposta de um circuito (como um comportamento de tensão ou comportamento de corrente) para o caso em que assumimos que indutores e capacitores não têm energia inicial, o que significa que não há tensão inicial ou correntes iniciais nesses componentes . E então, de repente, aplicamos uma força externa (fonte) na entrada do circuito. O comportamento das correntes e / ou tensões do circuito para esse cenário recebe apenas um nome .... chamado de resposta forçada. Basicamente, é uma resposta a uma entrada de fonte baseada na suposição de que começamos com as condições iniciais de energia ZERO em indutores e capacitores.

Depois de usarmos métodos para obter convenientemente a resposta natural e a resposta forçada, basta adicionar as duas partes para obter uma imagem completa. Tipo de princípio de superposição.

Não estou familiarizado com o termo 'resposta forçada' neste contexto, mas aqui vai. Muitos sistemas podem ser caracterizados como primeira ordem mais tempo morto (FOPDT). A "resposta natural" de um sistema desse tipo ao estímulo é um atraso inicial seguido por uma abordagem exponencial de um novo estado estacionário.

Pense em um elemento aquecedor fornecido a partir de uma fonte de tensão variável. As condições iniciais são desligadas e aquecidas à temperatura ambiente. Ligue em, digamos, 10 volts. Por um curto período de tempo (o tempo morto) a temperatura do aquecedor não muda. A temperatura começa então a aumentar, rapidamente a princípio, depois gradualmente se estabelecendo em um novo estado estacionário. Se você observar cuidadosamente os tempos envolvidos, terá três características naturais do sistema:

1. Ganho - expresso em graus / volt. Se os 10 volts causaram um ganho de 20 graus, então ganho = 2. Portanto, para a entrada de 20 volts, você deve esperar um aumento de 40 graus em relação à temperatura ambiente.
2. Dead time - demora para esperar em resposta a uma mudança de entrada. (inércia)
3. Constante de tempo ou frequência natural - o tempo do início da mudança ao estado estacionário é de 5 constantes de tempo. (como carregar um capacitor)

Com esses dados, você pode prever quanta mudança de temperatura é esperada para uma determinada mudança de tensão e quanto tempo levará, isto é, resposta natural.

Presumo que uma "resposta forçada" exigiria um estímulo excessivo do sistema para obter um resultado mais rápido. Portanto, para aumentar 30 graus, sabemos que precisamos de um aumento de 15 volts na entrada. Aumentando brevemente a voltagem em 25 volts e, em seguida, recuando 10 volts, conseguimos atingir a temperatura final desejada mais rapidamente, ou seja, 'forçando' uma resposta mais rápida.