Eu sei que isso é verdade porque eu li em uma fonte respeitável. Também entendo intuitivamente que a energia é proporcional ao quadrado de tensão ou corrente para uma carga resistiva e que o "S" no RMS é para "quadrado". Estou buscando uma prova matemática difícil.
Deixe denotar a corrente no instante , e da mesma forma denota a tensão naquele instante. Se pudermos medir tensão e corrente em todos os instantes, e houver instantes, a potência aparente significa:
O que é uma prova matemática elegante de que
alcança o mesmo resultado para cargas resistivas?
Respostas:
Lei de Ohm
A dissipação instantânea de energia é produto da tensão e da corrente
Substitua 1 em 2 para obter energia instantânea através de um resistor em termos de tensão ou corrente:
A potência média é definitivamente a integral da energia instantânea durante um período, dividido por esse período. Substitua 3 para obter potência média em termos de tensão e corrente.
Definição da corrente do RMS Esquadre os dois lados Multiplique por R para encontrar a equação 4 para a potência média Definição da tensão RMS Esquadre os dois lados Divida por R para encontrar a equação 4 para a potência média Multiplique as expressões 7 e 10 para obter potência média Raiz quadrada de ambos os lados
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A prova muito simples (no caso de amostragem discreta na pergunta) é pela substituição de E / R por I na equação RMS
e álgebra muito simples.
E sim, isso é verdade porque é especificado que temos uma carga puramente resistiva, para que não haja problema de ângulo de fase nem presente harmônico em I que também não esteja presente em E.
EDITAR
definição de RMS para pontos discretos (da Wikipedia):
então
e
e pela Lei de Ohm substituição :
então:
Retirando o 1 / R ^ 2
tão:
distribuindo o 1 / R:
Usando a substituição da Lei de Ohm novamente:
qual é:
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A chave é que, para uma carga resistiva, a tensão e a corrente estão em fase.
Se a tensão e a corrente são ambas , então seu produto é dado pela igualdade . A potência é uma onda senoidal com o dobro da frequência, que oscila cerca de . Essa é a sua média ao longo do tempo (a "média" do "quadrado"). A raiz do quadrado médio é . É aí que conseguimos esse número mágico.sin(t) sin2(t)=1/2+1/2sin(2t) 1/2 1/2−−−√=1/2–√=2–√/2≈0.707
A tensão ou corrente quadrada média raiz é a tensão e a corrente equivalentes DC que produzirão a mesma dissipação de energia ao longo do tempo . Se a dissipação de energia média for W, essa dissipação de energia poderá ser produzida constantemente por VDC multiplicada por A DC.1/2 2–√/2 2–√/2
Se a corrente e a tensão estão fora da fase 90 graus (carga reativa pura), podemos pensar em uma como sendo e a outra sendo . A igualdade aplicável é então . A forma de onda de potência não é mais "tendenciosa" para oscilar em torno de ; sua média é zero: a energia flui para dentro e para fora da carga em meios ciclos alternados, conforme a forma de onda da energia oscila positiva e negativa.cos(t) sin(t) sin(t)cos(t)=1/2sin(2t) 1/2
Portanto, para responder à pergunta, a tensão e a corrente RMS são definidas com base na potência média: cada uma é derivada da raiz quadrada da potência média. Multiplicando dois valores juntos que são obtidos a partir da raiz quadrada da potência média, recupera a potência média.
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Vamos simplificar mais esse problema sem matemática. Tome este circuito simples que produz uma forma de onda quadrada com um período de 10 segundos.
A tensão é assim
e atual é
Então a forma de onda de energia será
Quando o interruptor está aberto, nenhuma energia é fornecida ao resistor, de modo que a energia total é de 10 watts X 5 segundos = 50 Joules, e é a mesma coisa que aplicamos 5 watts em 10 segundos
e este é o poder médio. A tensão média é de 5 volts e a corrente média é de 0,5 ampere. Fazendo cálculos simples, a potência média resulta em 2,5 Watt ou 25 Joules, o que não é verdade.
Então, vamos fazer esse truque COM ESTA ORDEM:
Primeiro quadrado da tensão (e corrente)
Segundo, pegue a média do quadrado
Então pegue a raiz quadrada da média
O quadrado da forma de onda da tensão será
E a média é 50V ^ 2 (não 50 ^ 2 volts). A partir deste ponto, esqueça a forma de onda. Somente valores. A raiz quadrada do valor acima é 7.071… volt RMS. Fazendo o mesmo com a corrente, será encontrado 0,7071..A RMS e a potência média será 7.071V x 0,7071A = 5 Watt
Se você tentar fazer o mesmo com a energia RMS, o resultado será um 7.071Watt sem sentido.
Portanto, a única potência de aquecimento equivalente é a potência média e a única maneira de calcular é usar os valores rms de tensão e corrente
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