Como a força de carga afeta a inércia da carga?

Estou tentando simular um guincho como um motor de velocidade regulada que funciona através de uma caixa de engrenagens para levantar uma massa. A saída da caixa de engrenagens é um tambor, que gira para acumular o cabo.

Sinto-me confortável em converter a massa em um momento de inércia e também em converter esse momento de inércia (lado da saída) para o momento de inércia "visto" pelo motor (lado da entrada) com a relação da caixa de velocidades . Com uma simulação simples, não tenho problemas em escrever as equações de movimento.

Minha complicação ocorre quando quero modelar "esticar" no cabo. Eu pensei que poderia fazer isso simplesmente colocando uma mola de rigidez arbitrária entre o tambor do guincho e a massa, como na figura abaixo.

Com este modelo, por uma questão de simulação, suponho que conheço a "altura do tambor", que seria a distância que o tambor girou multiplicado pelo raio do tambor e pela altura da carga. A força da mola seria , mas como aplico isso ao motor ?$k(\phi r - y)$

Eu tenho um modelo de motor:

$$\frac{\Theta}{V} = \frac{K_T}{R_a Js+K_T K_b}$$ e um modelo de controlador PI:

$$\frac{V}{\Theta_\mbox{error}} = \frac{k_p \left(s + \frac{k_i}{k_p} \right)}{s}\\ $$ que é a velocidade do motor, é a tensão terminal, é a inércia da carga e da maquinaria e , e são a resistência da armadura do motor, a constante de torque e a constante EMF de retorno, respectivamente.V J R um K $\Theta$$V$$J$$R_a$$K_T$$K_b$

A interação que estou interessada em estudar ocorre quando o controlador PI é sintonizado com a inércia de carga prevista , que seria encontrada com o motor, a caixa de engrenagens, o tambor e a massa de carga, mas o sistema realmente "vê" a massa elástica.$J$

A simplificação é feita configurando a proporção igual a , fornecendo:K T K $k_i/k_p$$K_TK_b/R_aJ$

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{V}{\Theta_{\mbox{error}}}\frac{\Theta}{V} = \left( \frac{k_p \left( s + \frac{K_TK_b}{R_aJ} \right) }{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{s+\frac{K_T K_b}{R_aJ}} \right)$$

(Observe que posso deixar como variável porque a proporção pode ser definida como o que eu quiser via , desde que não seja zero.)k i / k p k $k_p$$k_i/k_p$$k_i$$k_p$

Portanto, em um mundo ideal , onde o valor da inércia "total" é conhecido antecipadamente, o polo é cancelado e todo o sistema se reduz a:$J$

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \left( \frac{k_p}{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{1} \right) \\ $$ $$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s}$$

Por fim, , portanto, com álgebra:$\Theta_{\mbox{error}} = \Theta_{\mbox{ref}} - \Theta_{\mbox{out}}$

$$\boxed{\frac{\Theta_{\mbox{out}}}{\Theta_{\mbox{ref}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s + 1}}$$

Então, me desculpe por espingardar tantos detalhes, mas eu queria impressionar quem lê que me sinto confiante com todos os meus passos até agora e que fiz um esforço considerável trabalhando nesse problema. Agora, novamente à minha pergunta - quero simular o alongamento do cabo entre o tambor e a carga, mas não sei como usar a força da mola para modular a inércia da carga.

Um pensamento que eu tinha era tentar fingir uma "massa equivalente", assumindo:

$$F = m_{\mbox{equivalent}}a \\ m_{\mbox{equivalent}} = \frac{F_{\mbox{spring}}}{a} \\ $$

mas isso não parece certo e não tenho certeza do que usaria para a aceleração .$a$

Estou frustrado por estar tão longe no problema e ficar perplexo com o que parece ser uma questão fácil, mas realmente não consigo pensar em uma maneira de abordar esse problema. Acho que se conseguisse enquadrar corretamente, poderia trabalhar a mecânica, mas é a conversão de força em inércia que sinto que precisa ser feita que me deixou perplexo.

Finalmente, para constar, também tentei rastrear meu modelo de motor para incluir o torque da carga. Isso fornece resultados aparentemente razoáveis, mas, no final, subtraio o torque da carga do torque do motor para obter o torque líquido, em seguida aplico esse torque líquido à inércia total para obter a aceleração do motor. Isso se alimenta na linha e, novamente, não tenho certeza se estou tratando a inércia total corretamente.

Vamos primeiro calcular o modelo. O design do controle é um esforço separado.

O torque aplicado ao tambor é , onde n é a relação de transmissão e é a saída produzida pelo motor. , onde é uma constante de proporcionalidade e é a corrente do motor.T M T M = K T i ( t ) K T i ( t $n T_M$$T_M$$T_M= K_T i(t)$$K_T$$i(t)$

Agora podemos escrever as equações para o sistema mecânico:

$$m y''(t)+m g-k (y(t)-r \theta (t))=0$$ $$J \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n K_T i(t)$$

Aqui m é a massa ek é a constante da mola.

Para escrever a equação do motor, precisamos determinar a fem de volta. O back fem é proporcional à velocidade do motor e, para escrevê-lo em termos da velocidade do tambor, multiplicamos também pela relação de transmissão n.

$$L i'(t)+R i(t)+n K_b \theta '(t)=V(t)$$

Aqui é a tensão aplicada, é a indutância, é a resistência e é a proporcionalidade constante.$V(t)$$L$$R$$K_b$

Essas três equações têm como entrada e , e como estados / saídas. Isso pode ser usado para obter o modelo de espaço de estado ou modelo de função de transferência. (O seguinte foi obtido usando o Mathematica)$V(t)$$i(t)$$\theta (t)$$y(t)$

Agora o design do controle pode começar ...

Atualizar

Como houve alguma confusão sobre a inércia a ser usada, deixe-me esclarecer a resposta. Vou assumir um conjunto de engrenagens na caixa de velocidades - uma engrenagem com inércia no lado do tambor e uma engrenagem com inércia no lado do motor.$J_1$$J_2$

Na resposta acima, negligenciei a inércia das engrenagens. A única alteração que precisa ser feita agora é modificar a segunda equação da seguinte maneira.

$$\left(J+J_1\right) \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n i(t) K_T$$

Se a equação para descrever a dinâmica transitória do eixo do motor também for desejada, é uma equação adicional envolvendo (rotação do eixo do motor), a inércia , etc. No entanto, isso não é necessário se o objetivo é controlar a posição do tambor.J $\theta_M$$J_2$

Alongamento na primavera delta Portanto, o delta Y não é constante, mas se você estiver interessado no delta Y_max $Y = A.sin(\omega.t) = A.sin\sqrt(k/m) . t$

delta , pela lei de Hooks. Como o seu sistema não acelera, exceto no início e no final, assumindo que a polia inicia e pára repentinamente, é o máximo. Qualquer aceleração gradual de início / parada terá que ser subtraída da aceleração da mola que é$Y max = m/k$

$- \omega^2 . t$
$\omega = \sqrt(k/m)$

olhando para o diagrama de corpo livre de massa
Como você observou, a força é$K(\phi.r - y)$

$m.dx^2/dt^2 = -K(\phi.r-r)$
divide os dois lados por K, obtemos:

$m/K.dx^2/dt^2 +\phi.r=y$

$\omega^2.dx^2/dt^2 +\phi.r =y$

Espero que isso ajude.

Percebo que esse é um tópico antigo, e não tenho certeza de quão profundo você finalmente mergulhou nisso, mas uma coisa que não vejo explicada em suas equações é a fricção de tambor / cabo. Isso será pequeno e, como a massa acumulada do cabo de aço enrolado que você não incluiu, pode não estar na sua lista. O cabo pode ser pré-esticado e pré-carregado, no entanto, qualquer movimento entre o cabo e o tambor devido ao esticamento do cabo também encontrará atrito. Na minha indústria (aparelhamento de teatro, projeto de maquinário de palco), o sulco entra em contato com uma área maior do que uma aplicação de tambor plano, e geralmente temos atrito adicional ao longo das roldanas e mulas de redirecionamento no conjunto de linhas, principalmente em 2: 1 ou 4: 1 sistemas de vantagem mecânica.

Acho que a abordagem de Suba Thomas fornece um bom modelo: comece com a soma das forças na carga e a soma dos momentos no tambor. Em seguida, determine o modelo de motor necessário.

O modelo inicial do motor do mandril precisa de um sistema rígido, onde um valor único para o momento de inércia possa ser calculado, enquanto o objetivo do modelo é:

A interação que estou interessado em estudar ocorre quando o controlador PI é sintonizado com a inércia de carga prevista , que seria encontrada com o motor, a caixa de engrenagens, o tambor e a massa de carga, mas o sistema realmente "vê" a massa elástica.$J$

Uma observação sobre a inércia na equação do momento do tambor de Suba Thomas: Não esqueça a inércia do motor aumentada no tambor. Dependendo do motor escolhido, sua influência pode ser significativa. Então, eu escolheria$J = J_{motor} * i^2 + J_{drum}$