Projeto do controlador com método de posicionamento de pólos com determinado amortecimento e tempo de estabilização

I deu os seguintes equações e pediu para conceber um controlador para usando um método de colocação do poste com o sistema de circuito fechado com o amortecimento e o tempo de estabilização T s dadas.$u=-Kx$$T_s$

Devo usar as equações e ˙ x 2 ou elas são totalmente irrelevantes?$\dot x_1$$\dot x_2$

Além disso, qual método de posicionamento de pólo é mais fácil para o caso, locus de raiz ou gráficos de Bode e Nyquist?

$$\begin{gather} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = -x_1 +\dfrac{1}{6}x_1^5-x_2+u \\ u = -Kx \quad \zeta=1.02 \quad T_s = 0.40 \end{gather}$$

Passo 1

A primeira coisa a fazer é determinar os pólos desejados.

$\omega =\frac{4}{\zeta T_s}$$\omega =9.80392$

$s^2+2 \zeta s \omega +\omega ^2$$s^2+20 s+96.1169$$-11.9706$$-8.02944$

Passo 2

$$\dot{x}=\text{A}.x+\text{B}.v$$ $$x=\left( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ \end{array} \right)^T \ \ \ v=u+\frac{x_1^5}{6}$$ $$A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ B=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$$

$v=-k.x$

$$k=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \end{array} \right). \left( \begin{array}{cc} \text{B} & \text{A}.\text{B} \\ \end{array} \right)^{-1}. (\text{A}^2+20 \text{A}+96.1169I)$$

$$k=\left( \begin{array}{cc} 95.1169 & 19 \\ \end{array} \right)$$

Passo 4

$u$

$$u+\frac{x_1^5}{6}=-95.1169 x_1-19 x_2$$ $$u=-95.1169 x_1-19 x_2-\frac{x_1^5}{6}$$

Passo 5

Verificação. Temos que ver se o projeto atendeu aos requisitos. (Essas simulações foram feitas no Mathematica. Os cálculos acima também poderiam ter sido feitos lá. Passei por eles manualmente acima para explicar as coisas.) A partir do gráfico, vemos que a restrição de tempo de acomodação foi satisfeita.