Descobrir o torque em um viscosímetro

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Estou resolvendo problemas através da Fox e McDonald. Aqui está o problema

insira a descrição da imagem aqui

Tentei descobrir o torque devido às forças viscosas que é

τ1=μ(2πRh)Rωa
e o binário devido a massa m1 como
τ2=m1gR
escrita na equação integrando isso e usando a condição de contornoω=0emt=0, obtiveω=m1ga
τ2τ1=m2R2dωdt
ω=0t=0. No entanto, estou faltandom1+m2 emvez dem2na parte exponencial. Obrigado.
ω=m1ga2πRhμ[1exp(2πμhtRam2)]
m1+m2m2
user471651
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Respostas:

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Você não considerou a aceleração de .m1

A configuração de um diagrama de corpo livre no peso mostra:

m1gT=m1ay

Tay

Isso leva às seguintes correções:

τ1=μ(2πRh)RωaR

(O original tinha um valor para a força, enquanto precisamos de um torque.) Isso ocorre porque toda a força viscosa operaria a uma distância R da origem.

τ2=TR=(m1gm1ay)R=m1gRm1R2dωdt

m1

Finalmente:

τ2τ1=m2R2dωdt
m1gRm1R2dωdtμ(2πRh)RωaR=m2R2dωdt
m1gμ(2πRh)Rωa=(m1+m2)Rdωdt

Que é facilmente resolvido em:

ω=m1ga2μπR2h(1exp(2μπRhta(m1+m2)))

Claramente, quando o exponencial desaparece, a velocidade máxima se estabiliza como

ω=m1ga2μπR2h
Marca
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Mark já apontou o que está faltando, e essa é a abordagem lagrangiana que também deve dar o mesmo resultado - e dá.

m1x1=R θ(t)

m1KE1=12m1x1(t)2=12m1R2θ(t)2

m1PE1=m1gx1=m1gR θ(t)

m2KE2=12Iθ(t)2=12m2R2θ(t)2

L=KE1+KE2PE1=12m1R2θ(t)2+12m2R2θ(t)2+m1gRθ(t)

τ2Q=μ(2πRh)RωaR

ddtdLdθ(t)dLdθ(t)=Q

m1R2θ(t)+m2R2θ(t)m1gR=2πhμR3θ(t)a

θ(t)=ω(t)

(m1+m2)Rω(t)+2πhμR2ω(t)am1g=0

ω(0)=0

ω(t)=m1ga2πhμR2(1e2πhμRta(m1+m2))

que concorda com a abordagem do diagrama de corpo livre.

Suba Thomas
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