Que tipo de matemática os engenheiros realmente usam? [fechadas]

Sou da seção StackExchange de matemática, muitos dos meus alunos são estudantes de engenharia na Universidade. Eu queria saber que tipo de cálculo vocês engenheiros de verdade usam? Eu conheci dois engenheiros. Um de projeto de avião e outro de metrologia. O primeiro usava muito pouco cálculo, alguns ODEs com coeficientes constantes por linearização. Este último usava apenas matemática básica, sem cálculo, com alguns excel. Quero ser honesto com qualquer estudante de engenharia para que eles saibam o que os espera.

Além disso, uma pergunta de acompanhamento. Você achou benéfico ter cerca de quatro semestres de cálculo? Talvez você não use nada disso, mas isso aprimora seu raciocínio matemático, que tem uma externalidade positiva em suas habilidades de engenharia?

No meu curso de engenharia civil, usamos EDOs para a relação entre força, momento e deflexão. Não me lembro de ter usado PDEs, mas meu cunhado (que cursava civis em uma universidade diferente) os usava para hidráulica.

Na vida real (como projetista de pontes), não me lembro de realmente usar o cálculo. A universidade concentrou-se principalmente na teoria e nos modelos matemáticos utilizados, enquanto no projeto de engenharia real possuímos um software de computador que faz todo o cálculo para nós.

Eu acho que há muitos benefícios em uma formação teórica e matemática na universidade - como engenheiro profissional, você precisa ter um entendimento básico para saber se o software está lhe dando uma resposta sensata.

(Como um aparte, como você mencionou o Excel, eu usei muito isso em design real.)

Originalmente, escrevi isso como um comentário anexado à resposta de AndyT, mas em resposta ao comentário de dcorking, decidi expandir aqui.

Eu me formei quase 30 anos e minha experiência é semelhante à de AndyT. Depois de me formar, fui direto para a indústria. Desde que me formei, eu e todas as pessoas com quem trabalhei ou com as quais me associei nunca usaram e nunca precisaram usar o cálculo em nosso trabalho diário como engenheiros. Os tipos de engenheiros com quem trabalhei incluem: civil, mecânico, ventilação, mineração, elétrica e ambiental.

Durante minha carreira, usei alguma trigonometria, álgebra e estatística, além de matemática financeira (NPV, TIR, etc.) para avaliações de projetos, estudos de viabilidade e, às vezes, quando eu tinha que escrever ou revisar justificativas para gastos de capital.

Quando eu entrei no mundo real, os computadores de trabalho estavam começando a ser usados ​​pelos engenheiros. Meu início de carreira foi uma mistura de fazer desenhos em papel e usar computadores. Eventualmente, os computadores dominaram e acabei usando software e planilhas de design de computador para o meu trabalho de engenharia e design.

Entre dois terços e três quartos de toda a matemática que aprendi na universidade, nunca usei depois de começar a trabalhar. Desde então, percebi que grande parte da matemática que eu era obrigada a aprender era um exercício para me ensinar como pensar e resolver problemas. A unidade de matemática que eu particularmente achei inútil para minha carreira, mas tinha que estudar, era autovetores. Sei que alguns engenheiros consideram os autovetores indispensáveis. Foi uma unidade que fiquei feliz em esquecer depois de fazer o exame!

Os cursos de engenharia precisam ser credenciados por sociedades profissionais de engenharia, portanto, os engenheiros são obrigados a aprender muita matemática, caso seja necessário. Quando os alunos iniciam seus cursos, eles nem sempre sabem onde vão parar.

Os engenheiros de pesquisa e os envolvidos com as tecnologias mais avançadas usam mais da matemática e do cálculo que foram ensinados.

Lembro-me de ouvir uma conversa que minhas palestras estavam tendo com outro aluno e ele disse que a única vez em que usou cálculo foi na década de 1950, quando se envolveu no projeto de certos tipos de motores de combustão interna.

O problema dos engenheiros na indústria é que eles logo acabam sendo gerentes - cuidando de pessoas, dinheiro e idéias. Um conhecimento básico de cálculo é útil, mas hoje em dia os computadores fazem todos os cálculos complexos para nós. Nós inserimos o número e interpretamos os resultados. Precisamos conhecer os conceitos de como o software funciona para garantir que o software não esteja nos dando lixo. Essa é uma das razões pelas quais os estudantes de engenharia precisam estudar matemática.

Lembro-me de participar de um seminário do setor quando eu era estudante e um engenheiro experiente disse a todos que, enquanto estavam na universidade, precisavam usar calculadoras científicas, mas, à medida que progrediam em suas carreiras, acabariam usando calculadoras que só tinham adição, subtração , multiplicação e chaves de divisão.

Um pouco de fundo (divulgação honesta). Comecei a obter meu BS / MS no Mech Eng. de uma escola bastante prática / aplicada antes de decidir continuar o doutorado em uma escola mais teórica. Como resultado, não pretendo ser um engenheiro de verdade (minha experiência geral é que os acadêmicos que trabalham em engenharia geralmente são engenheiros medíocres), mas tenho alguns pensamentos que podem ser úteis.

Em minha pesquisa, eu me pego lidando com ODEs, PDEs, álgebra linear (aplicada e abstrata) e esse tipo de coisa. Às vezes, tive que reaprender conceitos matemáticos que havia esquecido ou que nunca aprendi em primeiro lugar. Qualquer que seja a fração de seus alunos que frequentam a academia, será mais provável que você use cálculos regularmente.

Em atividades mais aplicadas, como consultoria em projetos ou construção de carros de corrida para a conclusão do aluno. Acho muito menos demanda por essas habilidades, embora elas sejam úteis às vezes.

Em muitos casos, o cálculo é mais valioso para conceitos do que para computação real. Quero saber que uma quantidade é parte integrante de outra para entender um problema, mas isso não significa que eu realmente vou me sentar e integrar uma equação com lápis e papel. Particularmente, acho que entender as idéias básicas das equações diferenciais pode ser extremamente valioso em muitas disciplinas (sistemas dinâmicos, transferência de calor, eletrônica ...).

As experiências que você descreve não são irracionais por várias razões (lista não abrangente):

• Muitos problemas práticos podem ser resolvidos analiticamente com matemática superior. No entanto, a solução analítica, uma vez conhecida, reduz o cálculo real à aritmética simples. Em alguns casos, não é apenas mais fácil usar a solução fornecida, como realmente necessário. No caso de vários códigos e normas, um engenheiro se exporia à responsabilidade se desviasse de um procedimento de computação prescrito.

• As soluções numéricas para problemas são cada vez mais fáceis de encontrar e são mais amplamente aplicáveis ​​do que as soluções analíticas. Muitas vezes, é mais fácil lançar um método numérico em uma série integral, ODE, PDE, ... em vez de tentar lembrar / derivar a solução. Geometria complexa, comportamento não linear etc. geralmente significam que métodos convencionais são impraticáveis ​​ou impossíveis. E, com muitos softwares modernos, a matemática é totalmente invisível para o usuário. Vi alunos do primeiro ano do ensino médio com pouca experiência aprenderem rapidamente as ferramentas para simular tensões em cenários de carga complexos e calcular a condução de calor transiente com condições de contorno não lineares (basicamente não é necessário fazer matemática).

• Há muitos dados empíricos que entram na engenharia. Experimentos e experiências podem ser tão bons ou melhores que a matemática em alguns casos. Eu não conseguia nem começar a calcular (a partir dos primeiros princípios) o coeficiente de atrito entre dois materiais, mas posso procurá-lo em um livro ou medi-lo eu mesmo.

Isso é do ponto de vista de um engenheiro civil.

Os engenheiros normalmente não usam matemática de nível superior porque as especificações de código são escritas especificamente para evitar a necessidade. Você não deseja que um edifício ou ponte falhe porque um engenheiro não adotou uma integral corretamente. Sempre que possível, a matemática rígida foi reduzida a uma equação simplificada, um gráfico ou gráfico. Isso é feito para limitar as possíveis fontes de erros.

A matemática complicada é feita e verificada antes de ser colocada nos códigos. Dessa forma, o engenheiro que usa o código posteriormente não precisa se preocupar com a correção. Normalmente, apenas fazer referência a um código é suficiente para "provar" que uma resposta está correta.

A engenharia para o público é tão controlada por códigos e especificações que, em algumas áreas, há pouca matemática a ser feita. A resposta é encontrada em uma tabela. Provavelmente, a tabela foi projetada com muita contribuição matemática e pesquisa universitária, mas uma tabela foi desenvolvida para eliminar a necessidade de refazer cálculos padrão em todos os projetos. Esse é mesmo o caso do design sísmico (terremoto). A menos que um projeto seja tão especial que seja necessário criar um modelo de computador completo, todas as interações complexas entre o solo, a estrutura e as falhas próximas são reduzidas a uma simples carga horizontal aplicada no centro de massa.

Os códigos de construção e as incertezas nas cargas exigem que os fatores de segurança sejam um pouco grandes em comparação com outras profissões. Isso significa que um método simplificado para resolver um problema não afeta muito o resultado final quando comparado a uma solução matemática exata .

Grande parte dos cálculos diários que um engenheiro conclui usa os mesmos conjuntos de fórmulas com entradas diferentes. É por isso que enormes planilhas do Excel podem ser criadas para fazer muito trabalho.

Isso não significa que a matemática de nível superior e as teorias subjacentes a ela não sejam úteis. Todos esses tópicos ajudam a treinar a mente de um engenheiro para visualizar o que realmente está acontecendo. O tópico sobre simulação numérica fala sobre isso.

Dependendo de como você olha, nada e tudo.

O ciclo de fazer algo da maneira mais difícil, aprendendo um atalho e depois passando para o material avançado se repete durante toda a faculdade.

Por exemplo, quando comecei a usar Álgebra, parei de fazer tabelas de multiplicação. A matemática no nível da faculdade é da mesma maneira. Após o cálculo, a maioria dos engenheiros faz equações diferenciais. Naquele momento, eu realmente parei de fazer cálculo e comecei a confiar em ferramentas para fazer isso por mim.

No trabalho de controles, usamos muitas transformações de Laplace para definir um sistema. Embora eu conheça tecnicamente toda a teoria por trás da transformação de Laplace, não faço uma manualmente há quase uma década.

Portanto, embora eu não tenha “usado” o cálculo desde meus 3º e 4º anos de universidade, tudo o que aprendi durante eles exigia um básico de cálculo.

Edit: Uma analogia das sortes. É como perguntar a alguém no 14º andar de um prédio quantas vezes ele usa o 3º andar. Pode ser que nunca, mas sem o 3º andar também não haveria um 14º andar.

Concordo, como discutido em algumas das outras respostas, que na maioria das vezes os engenheiros não usam diretamente o cálculo (ou outra matemática avançada) com muita frequência para realizar seu trabalho do dia a dia. E, ao mesmo tempo, entender isso é vital para um bom engenheiro.

Eu acrescentaria, porém, que entender matemática avançada o suficiente para usá-la efetivamente pode ser extremamente útil na era atual, na qual ferramentas matemáticas avançadas estão prontamente disponíveis. Por exemplo, um programa como o Mathcad permite que o usuário execute a integração direta de um domínio, e um engenheiro que entende como usá-lo corretamente pode criar ferramentas extremamente eficazes, precisas e rápidas para resolver problemas de rotina.

$S_p$

$\Delta e$$z$

$e_0$

$\sigma^{\prime}$$S_p$

No entanto, uma maneira muito melhor e mais fácil de fazer isso é simplesmente integrar diretamente usando uma ferramenta como o Mathcad! Em vez de dividir uma coluna de 15 pés de solo em incrementos de 1 pé e executar o mesmo conjunto de cálculos em cada uma das 15 camadas, tudo o que tenho que fazer (uma única vez) é o seguinte:

1. $z$ $$u(z)=0$$
2. $z$ $$\sigma_0(z)=\gamma_{\text{soil}}z$$
3. $z$ $$\sigma^{\prime}_0(z)=\sigma_0(z)-u(z)$$
4. $z$ $$\Delta\sigma^{\prime}(z)=1000\text{ psf}$$
5. $z$ $$\Delta e(z)=C_c\log{\frac{\sigma^{\prime}_0(z)+\Delta \sigma^{\prime}(z)}{\sigma^{\prime}_0(z)}}$$

$z=H_{\text{layer}}$

Essa abordagem é mais rápida, precisa e fácil do que o método ensinado no livro de mecânica ou fundações do solo. No entanto, requer a capacidade de entender e aplicar o cálculo básico para implementá-lo adequadamente.

Existem muitos outros exemplos (por exemplo, análise estrutural de uma viga em flexão, vazão de água subterrânea, análise volumétrica de vazão de um hidrograma de bacia hidrográfica, etc etc) nos quais a integração direta seria uma abordagem superior àquela comumente usada se a ferramenta certa estiver disponível .

Um engenheiro eletrônico aqui, que achou a matemática a parte mais difícil de seu diploma.

Rotineiramente, tenho que usar e manipular números complexos ao fazer engenharia de RF, modelagem de circuitos e design. Eles também foram úteis ao modelar a propagação ultrassônica. Eu sempre desejei que o Excel lidasse com números complexos como um tipo interno.

Uma compreensão dos ODEs é vital ao projetar sistemas de controle e feedback.

É necessário compreender os conceitos das séries de Fourier, transformadas e convolução de Laplace e Z.

O importante para mim tem sido saber o que a matemática está disponível e poder pedir ajuda a um matemático quando necessário. Os matemáticos que consultei invariavelmente ficaram encantados em ajudar com problemas práticos.

Como cientista computacional, trabalho em estreita colaboração com engenheiros que desenvolvem as ferramentas de software que eles usam para resolver diferentes tipos de problemas de engenharia. Meu trabalho baseia-se fortemente em equações diferenciais parciais e análises numéricas, para as quais integrais, derivadas, séries de taylor, limites, teorema de green, otimização, taxas de mudança, etc ... são todas as ferramentas básicas que uso todos os dias da minha vida.

Na minha opinião, engenheiros profissionais são os usuários da ferramenta, enquanto eu me vejo como um fabricante de ferramentas. Um engenheiro certamente pode usar uma ferramenta sem saber muito sobre os meandros de como ela foi feita ... Mas, para escolher a ferramenta certa para o trabalho em questão, você precisa entender a variedade mais ampla de ferramentas e as vantagens / desvantagens. . A única maneira de entender as vantagens de uma ferramenta numérica sobre a outra, você precisa entender os blocos de construção dessa ferramenta. Para isso, o cálculo é absolutamente necessário.

Vou dar um exemplo de cálculo que usei hoje como engenheiro de software.

Estávamos estimando o tempo computacional de executar uma operação em cada um dos muitos grupos de elementos. O tempo gasto para um grupo individual é proporcional ao tamanho do grupo ao quadrado.

Não temos certeza da distribuição dos tamanhos dos grupos, mas, dependendo dos diferentes algoritmos que poderemos usar, poderemos modelá-los como normalmente distribuídos, lei de potência distribuída, distribuição exponencial etc., bem como influenciar os parâmetros dessas respectivas distribuições.

$X^2$$X$ é amostrado a partir de alguma distribuição requer conhecimentos básicos de cálculo :)

Em geral, coisas assim surgem de tempos em tempos. Não sei se já o usei explicitamente em termos de software de escrita que realiza cálculos relacionados ao cálculo, nem como ferramenta de tomada de decisão autorizada. Normalmente, resta "tentar algumas coisas e ver o que funciona melhor", mas é definitivamente útil para o brainstorming ou estimativa básicos do quadro branco. Nesse caso, vamos teorizar sobre que tipo de distribuição esperamos que funcione melhor e concentrar nossos esforços em tentar esse caminho. Certamente posso dizer que fundamentos básicos de cálculo são úteis para entender a dinâmica de alguns sistemas de software. Quatro semestres provavelmente é um exagero.

Sou bacharel em engenharia da computação. Ainda estou no início da minha carreira (atualmente principalmente software, mas estou tentando me envolver mais com o aspecto do hardware), mas eis a minha experiência:

Eu queria saber que tipo de cálculo vocês engenheiros de verdade usam?

O tópico mais usado para mim na escola e em outros lugares foi a transformação de Fourier. Surgiu várias vezes nas minhas aulas de engenharia elétrica, e agora trabalho em telecomunicações, onde ocorre de várias formas com relativa frequência.

Dito isto, são os conceitos e os antecedentes, e a compreensão da realidade física através das equações que mais me ajudou, em vez dos números e cálculos reais (que eu raramente vi fora da escola). Saber seguir cegamente as regras e fazer cálculos pode ajudar a se sair bem na escola (dependendo do professor), mas, na minha experiência, é mais importante ter uma compreensão conceitual e uma idéia geral do comportamento dos circuitos do que ser capaz de calcular um resposta numérica exata. No trabalho, obteríamos a resposta da maneira mais rápida - conecte os números em um simulador. Mas se você tiver um entendimento conceitual, saberá o que esperar e perceberá quando algo estiver errado.

Pela minha experiência, eu diria que o mais importante é entender bem como as equações descrevem o sistema físico e ser capaz de traduzir para frente e para trás. Ou seja, deixe as equações melhorarem sua compreensão do sistema físico.

Talvez você não use nada disso, mas isso aprimora seu raciocínio matemático, que tem uma externalidade positiva em suas habilidades de engenharia?

Sim! A capacidade de descrever um sistema físico em termos matemáticos e, em seguida, entender e prever seu comportamento é uma habilidade que adquiri na escola e acredito que seja muito importante para qualquer engenheiro.

Isso é escrito do ponto de vista de alguém que está fazendo doutorado em engenharia mecânica. Minha formação em matemática é um pouco comparável à (mas definitivamente inferior à) dos estudantes de doutorado em um programa de matemática aplicada.

Como outros indicaram, a resposta a esta pergunta depende muito do trabalho do engenheiro em particular. Em muitos casos, a matemática avançada é realmente inútil. Um engenheiro civil mencionou o trabalho baseado em código como um exemplo .

Como um aluno de doutorado trabalhando em dinâmica de fluidos computacional, preciso de uma compreensão razoavelmente sólida de tudo através dos PDEs. A matemática é uma ferramenta que eu uso para resolver problemas, assim como um experimentalista pode considerar um termômetro uma ferramenta. Desenvolvo modelos matemáticos (geralmente resolvidos por computadores) para uso por mim e por outros engenheiros.

Tópicos abordados na minha graduação em matemática que considero úteis no meu trabalho:

• cálculo integral, diferencial e vetorial (Basicamente, apesar de admitir que só usei multiplicadores Lagrange uma ou duas vezes desde a graduação)

• probabilidade e estatística (a classe que eu tive foi bastante embaçada, no entanto)

• equações diferenciais (ordinárias e parciais)

Também fiz um curso de análise complexa de graduação que achei fascinante, embora deva admitir que não usei quase nada desde então. Alguns dos cursos de graduação em matemática que tomei e achei úteis incluem análise assintótica, probabilidade teórica da medida (não tanto para a teoria da medida, diretamente, mas para pensar com mais cuidado) e PDEs numéricos.

No entanto, minha formação em equações diferenciais de graduação era bastante deficiente. A turma básica de EDO deve ser difícil de ensinar, porque (aproximadamente) 75% dos alunos não precisam saber muito sobre EDOs e os outros 25% precisam conhecer bem o assunto. (Eu poderia escrever muito mais sobre esse assunto, em particular, quais áreas acho deficientes.)

Eu quero ir um pouco de tangente para abordar um tópico relacionado. Há um grande número de engenheiros que acreditam que a matemática avançada é mais inútil para eles do que realmente é, e eles geralmente são bastante expressivos sobre isso. Alguns engenheiros parecem se esforçar para evitar o uso de qualquer tipo de matemática ^[1] , mesmo que seja útil. Uma empresa que tentou recrutar pessoas do meu grupo de pesquisa se gabouque eles não fazem contas, como se isso nos atraísse. Para ser sincero, eles se tornaram uma piada interna. Muito do trabalho deles é baseado em códigos e, embora os códigos tendam a ser conservadores, eles nem sempre são corretos ou úteis em todos os casos. Quando alguém tem que fazer um "julgamento de engenharia", espero que o julgamento seja baseado em um modelo matemático baseado em evidências e não em especulações. (Não sei por que essa opinião sobre a utilidade da matemática avançada existe, mas acho que ela vem em parte da dificuldade da matemática e também da ignorância.)

Os engenheiros que não usam matemática avançada devem estar cientes das possíveis armadilhas do uso cego de software de engenharia baseado em matemática avançada. Muitos engenheiros confiam no software como se seu resultado fosse infalível. Sou financiado por uma agência governamental que produz um software de simulação (e ajudo a desenvolvê-lo) e lembro que um de seus engenheiros ficou bastante irritado com os usuários que afirmam ter descoberto uma nova física: temperaturas mais altas que a temperatura adiabática da chama (a mais alta temperatura possível na combustão devido à primeira lei). O que realmente aconteceu foi que o software de simulação não usou um " TVD", e os desenvolvedores assumiram (talvez implicitamente) que as pessoas que usam o software reconheceriam quando as coisas derem errado e adicionariam uma resolução adicional. Minha impressão é que eles não querem tornar o software infalível porque isso atrasaria drasticamente as coisas, mas aparentemente, esse problema surgiu tantas vezes que eles adicionaram o algoritmo infalível.

Isso não quer dizer que a matemática avançada seja sempre necessária. Embora alguns engenheiros possam considerar divertido exagerar em algo com sofisticação matemática, se não for necessário resolver um problema, é provavelmente uma perda de tempo.

_{[1] Aliás, o mesmo se aplica à programação. Para uma aula ministrada por meu orientador da MS, ele projetou especificamente uma tarefa para ser "impossível" de resolver no Excel, porque exigia muitas vezes a solução de grandes sistemas lineares de equações. De longe, a maneira mais fácil de fazer isso seria escrever algumas dezenas de linhas de código. Ele exigia que as pessoas entregassem seu código para receber crédito. Ele ainda recebeu planilhas! Aparentemente, você pode fazer isso no Excel, mas precisava digitar a matriz manualmente! Certamente não é fácil nem divertido quando você precisa de uma matriz de 500 x 500.}

Se tivermos que responder a essa pergunta muito brevemente, eu diria:

(1) Os engenheiros usam códigos, e o código de aplicação não precisa de cálculo, mas apenas cálculo e software.

(2) A maioria dos engenheiros usa códigos escritos por outras pessoas em suas carreiras.

(3) Os principais escrevem e modificam códigos e software, usam matemática. Eles simplificam os problemas complexos para os outros, os colocam em tabela, software e fórmulas aritméticas.

Todas as respostas geralmente dão argumentos válidos, mas acho que eles perdem a verdadeira razão pela qual os engenheiros adotam um currículo matemático padrão de 2 anos: eficiência na aprendizagem do restante dos cursos. As pessoas que elaboraram o currículo original não estavam interessadas em criar uma base de "artes liberais" onde o cálculo exercitasse sua mente etc. Eles queriam treinar engenheiros, pura e simplesmente.

Mas, para treinar engenheiros, você precisa ensinar assuntos como mecânica, fluidos, ondas, etc. Para aprender esses diferentes tópicos com eficiência, você precisa de cálculo e álgebra linear. Certamente, você pode substituir um argumento de cálculo criando um argumento muito inteligente e elementar, mas é muito melhor fornecer UM argumento por meio de cálculo que engloba uma variedade de casos. O mesmo vale para álgebra linear. Por exemplo, o conceito de se o espaço nulo de um sistema linear é trivial ou não se liga muito bem ao conceito análogo nos ODEs lineares.

Pode-se discutir o dia inteiro se aprender dessa maneira faz um engenheiro melhor ou não, mas uma coisa é clara para quem é ensinado: essa é uma maneira muito eficiente de treinar engenheiros. E o quão bem entendemos a matemática que está sendo ensinada terá um efeito direto sobre o quanto entendemos o restante do currículo de engenharia.

Quando eu estava fazendo cursos como "aluno especial" na Universidade Carnegie Mellon, em Pittsburgh (em meados da década de 1970), "matemática de engenharia" consistia em álgebra linear, equações diferenciais ordinárias e parciais e "tópicos especiais", como séries de potência e soluções da série fourier, bem como transformações LaPlace. Esta é uma escola de engenharia "pesada" e muitos terão programas "mais leves".