Força em um sistema de manivela

Declaração

Em um sistema de manivela, como descrito na figura, sabemos os valores de: largura da biela ( ), largura da manivela ( ), torque na manivela ( ) e velocidade angular que nós aplicamos a esse torque. Queremos conhecer a força resultante ( ) do sistema. $m$ $b$ $M$ $\omega$ $F_2$

Nota: o diagrama é ausente , que é o ângulo entre e $\gamma$ $F_1$ $F$ . Além disso, e são mal desenhada; eles devem verificar abaixo. É apenas um erro no diagrama, não no conceito da questão. $F_1$ $F$ $(1)$

Solução

Minha tentativa foi a seguinte:

Pelo diagrama, podemos ver:
$\begin{aligned} F_{1} & = F \cos γ & (1) \\ \frac{b}{\sin α} & = \frac{m}{\sin β} & (2) \\ α + β + γ + 90 & = 180 & (3) \\ F_{2} & = F_{1} \cos β & (4) \end{aligned}$ $\begin{align} F_1 &= F \cos \gamma&&(1) \\ \frac{b}{\sin \alpha} &= \frac{m}{\sin \beta} &&(2)\\ \alpha + \beta + \gamma + 90 &= 180 &&(3)\\ F_2 &= F_1 \cos \beta &&(4) \end{align}$
Colocando em : $(1)$ $(4)$
$\begin{aligned} F_{2} = F \cos γ \cos β & (5) \end{aligned}$ $\begin{align} F_2 = F \cos \gamma \cos \beta && (5) \end{align}$
Antes de tudo, precisamos de uma relação entre e . O único é , onde podemos obter em função de isolando depois de aplicar o $\cos \beta$ $\alpha$ $(2)$ $\cos \beta$ $\alpha$ $\cos \beta$ , então: $\sin \beta = \sqrt{1-\cos^2 \beta}$
$\begin{aligned} \frac{b}{\sin α} & = \frac{m}{\sin β} \\ \sin β & = \frac{m \cdot \sin α}{b} \\ \sqrt{1 - \cos^{2} β} & = \frac{m \cdot \sin α}{b} \\ 1 - \cos^{2} β & = \frac{m^{2} \cdot \sin^{2} α}{b^{2}} \\ \cos^{2} β & = \frac{b^{2} - m^{2} \cdot \sin^{2} α}{b^{2}} \\ \cos β & = \sqrt{\frac{b^{2} - m^{2} \cdot \sin^{2} α}{b^{2}}} \\ \cos β & = \frac{\sqrt{b^{2} - m^{2} \cdot \sin^{2} α}}{b} \end{aligned}$ $\begin{align} \frac{b}{\sin \alpha} &= \frac{m}{\sin \beta} \nonumber\\ \sin \beta &= \frac{m \cdot \sin \alpha}{b}\\ \sqrt{1-\cos^2 \beta} &= \frac{m \cdot \sin \alpha}{b}\nonumber\\ 1 - \cos^2 \beta &= \frac{m^2 \cdot \sin^2 \alpha}{b^2}\nonumber\\ \cos^2 \beta &= \frac{b^2 - m^2\cdot \sin^2\alpha}{b^2}\nonumber\\ \cos\beta &= \sqrt{\frac{b^2 - m^2\cdot \sin^2\alpha}{b^2}}\nonumber\\ \cos \beta &= \frac{\sqrt{b^2 - m^2\cdot \sin^2\alpha}}{b}\nonumber \end{align}$
Colocando isso em : $(5)$
$\begin{aligned} F_{2} = F \cos γ \cdot \frac{\sqrt{b^{2} - m^{2} \cdot \sin^{2} α}}{b} & (7) \end{aligned}$ $\begin{align} F_2 = F \cos \gamma \cdot \frac{\sqrt{b^2 - m^2\cdot \sin^2\alpha}}{b} && (7) \end{align}$
Agora, precisamos de uma relação entre e . De , temos: $\gamma$ $\alpha$ $(3)$
$\begin{aligned} γ = 90 - α - β & (8) \end{aligned}$ $\begin{align} \gamma = 90 - \alpha - \beta && (8) \end{align}$
Entretanto, queremos somente em função de , sem . Então, vamos para novamente para calcular em função de . Aplicando , obtemos: $\gamma$ $\alpha$ $\beta$ $(2)$ $\beta$ $\alpha$ $\arcsin$
$\begin{aligned} β = \arcsin (\frac{m \cdot \sin α}{b}) & (9) \end{aligned}$ $\begin{align}\beta = \arcsin \left(\frac{m \cdot \sin \alpha}{b}\right) && (9)\end{align}$
Então, colocando-o em : $(8)$
$\begin{aligned} γ = 90 - α - \arcsin (\frac{m \cdot \sin α}{b}) \end{aligned}$ $\begin{align*} \gamma = 90 - \alpha - \arcsin \left(\frac{m \cdot \sin \alpha}{b}\right) \end{align*}$
$(7)$
$\begin{aligned} F_{2} = F \cos [90 - α - \arcsin (\frac{m \cdot \sin α}{b})] \cdot \frac{\sqrt{b^{2} - m^{2} \cdot \sin^{2} α}}{b} \end{aligned}$ $\begin{align*} F_2 = F \cos \left[90 - \alpha - \arcsin \left(\frac{m \cdot \sin \alpha}{b}\right)\right] \cdot \frac{\sqrt{b^2 - m^2\cdot \sin^2\alpha}}{b} \end{align*}$
$\cos(90^\circ - x) = \sin x$
$\begin{aligned} F_{2} = F \sin [α + \arcsin (\frac{m \cdot \sin α}{b})] \cdot \frac{\sqrt{b^{2} - m^{2} \cdot \sin^{2} α}}{b} \end{aligned}$ $\begin{align} F_2 = F \sin \left[\alpha + \arcsin \left(\frac{m \cdot \sin \alpha}{b}\right)\right] \cdot \frac{\sqrt{b^2 - m^2\cdot \sin^2\alpha}}{b} \end{align}$
$\begin{aligned} F_{2} & = F (\sin (α) \sqrt{1 - \frac{m^{2}}{b^{2}} \sin^{2} (α)} + \frac{m}{b} \sin α \cos α) \cdot \frac{\sqrt{b^{2} - m^{2} \cdot \sin^{2} α}}{b} \\ F_{2} & = F \cdot \sin α \cdot \frac{m \cos α \sqrt{b^{2} - m^{2} \sin^{2} α} + b^{2} - m^{2} \sin^{2} α}{b^{2}} \end{aligned}$ $\begin{align*} F_2 &= F \left( \sin(\alpha) \sqrt{1-\frac{m^2}{b^2}\sin^2(\alpha)} + \frac{m}{b} \sin{\alpha } \cos { \alpha} \right) \cdot \frac{\sqrt{b^2 - m^2\cdot \sin^2\alpha}}{b}\\ F_2 &= F \cdot \sin\alpha \cdot \frac{ m\cos \alpha \sqrt{b^2 - m^2 \sin^2\alpha} + b^2 - m^2 \sin^2 \alpha }{b^2} \end{align*}$
$\omega$ $t$ $M$ $\alpha$ $\omega t$ $F$ $M/m$

$\begin{aligned} F_{2} = \frac{M}{m} \cdot \sin (ω t) \cdot \frac{m \cos (ω t) \sqrt{b^{2} - m^{2} \sin^{2} (ω t)} + b^{2} - m^{2} \sin^{2} (ω t)}{b^{2}} \end{aligned}$ $\begin{align*} \boxed{F_2 = \frac{M}{m} \cdot \sin(\omega t) \cdot \frac{ m\cos(\omega t) \sqrt{b^2 - m^2 \sin^2(\omega t)} + b^2 - m^2 \sin^2 (\omega t) }{b^2}} \end{align*}$

Pergunta, questão

Esta solução está correta?

PS : meu nível de estudos de física é bastante baixo; portanto, restrinja-se a esse nível de dificuldade.

mechanical-engineering JnxF
fonte

α = ω t

$\alpha=\omega t$

ω

$\omega$

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Pergunta, questão

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