Como determinar os parâmetros de projeção ao personalizar uma projeção

Estou tentando personalizar uma projeção Albers e HOM (Hotine Oblique Mercator) para minimizar a distorção na região que estou analisando. A região se estende de 51 a 62 graus de latitude, cobrindo uma área do tamanho da Ucrânia. A região é orientada NW - SE.

Quero ter certeza de que estou usando métodos corretos para determinar os dois parâmetros de projeção: lat / long do centro de projeção e azimute da linha central . Estou usando o ArcMap v10. Aqui está o procedimento que eu segui até agora:

1. Criou um único polígono que define a região de análise (geralmente criando um casco convexo em torno da extensão das bacias hidrográficas que cobrem a região). Esse polígono é a área para a qual estou personalizando a projeção.
2. Projetado o polígono para Geographic / NAD 83.
3. Utilizou as ferramentas de Jeff Jenness para gráficos e formas
   ( http://www.jennessent.com/arcgis/shapes_graphics.htm ) para determinar o centro de massa do polígono no esferóide GRS80. As coordenadas resultantes são o que eu usei para o parâmetro "centro de projeção".
4. Para determinar o azimute da linha central, projetei primeiro o polígono em uma projeção equidistante azimutal, especificando o centro de projeção nas coordenadas determinadas na Etapa 3.
5. Em seguida, desenhei uma polilinha (na projeção equidistante azimutal), encaixada no ponto central da projeção, representando a tendência direcional do polígono da região. Para colocar o azimute no centro da projeção, usei as Ferramentas para gráficos e formas de Jeff Jenness para determinar o azimute inicial da curva geodésica no ponto central.
6. Para a projeção de Albers, estou usando a longitude do centro de projeção, conforme determinado na etapa 3. Também estou usando a incrível planilha criada por Bill Huber ( http://forums.esri.com/Attachments/34278.xls ) para determinar onde para colocar os paralelos padrão para minimizar a distorção da escala na região do polígono.

Se for necessário saber, estou usando a versão do HOM do ArcMap que usa uma linha central definida por um ponto no centro da projeção e seu ângulo de azimute. A ESRI chama isso de "Hotine_Oblique_Mercator_Azimuth_Center". No EPSG, acredito que este seja o código oblíquo Mercator, Hotine Variant B, método EPSG 9815.

Espero que haja alguns especialistas em projeção por aí que possam me dizer se o procedimento acima, especialmente as etapas 3 e 4 , é uma maneira correta de determinar os parâmetros de projeção necessários. Estou no caminho certo? É correto determinar o centro no esferóide e o ângulo da geodésica a partir do ponto central (em vez de um centro geométrico "2d" e azimute)?

Espero que a descrição do problema esteja clara. Aguardo ansiosamente todas as respostas, dicas, discussões, etc.!

A abordagem descrita na pergunta exibe um cuidado excepcional na seleção de projeções para uma determinada área de estudo. Essa resposta visa apenas estabelecer uma conexão mais direta entre o objetivo (de minimizar a distorção) e as medidas que foram e podem ser tomadas, para que possamos ter certeza de que essa abordagem será bem-sucedida (tanto aqui quanto em futuras aplicações).

Tipo de distorção

Ajuda a enquadrar o problema um pouco mais clara e quantitativamente. Quando dizemos "distorção", podemos nos referir a várias coisas relacionadas, mas diferentes:

• Em cada ponto em que a projeção é suave (ou seja, não faz parte de uma "dobra" ou junção de duas projeções diferentes e não está em seu limite ou "rasgo"), há uma distorção de escala que geralmente varia com o rolamento longe do ponto. Haverá duas direções opostas nas quais a distorção é maior. A distorção será menor nas direções perpendiculares. Estes são chamados as principais direções . Podemos resumir a distorção da escala em termos das distorções nas direções principais.

• A distorção na área é o produto das principais distorções da escala.

• Direções e ângulos também podem ser distorcidos. Uma projeção é conforme quando quaisquer dois caminhos na Terra que se encontram em um ângulo são mapeados para linhas garantidas para se encontrarem no mesmo ângulo: projetos conformes preservam os ângulos. Caso contrário, haverá uma distorção dos ângulos. Isso pode ser medido.

Embora desejemos minimizar todas essas distorções, na prática isso nunca é possível: todas as projeções são comprometidas. Portanto, uma das primeiras coisas a fazer é priorizar: que tipo de distorção precisa ser controlada?

Medindo a distorção geral

Essas distorções variam de ponto a ponto e, em cada ponto, geralmente variam de acordo com a direção. Em alguns casos, prevemos realizar cálculos que cubram toda a região de interesse: para eles, uma boa medida da distorção geral é o valor médio de todos os pontos, em todas as direções. Em outros casos, é mais importante manter as distorções dentro dos limites estabelecidos, não importa o quê. Para eles, uma medida mais apropriada da distorção geral é o intervalo de distorções encontradas em toda a região, respondendo por todas as direções possíveis. Essas duas medidas podem ser substancialmente diferentes, portanto, é necessário pensar um pouco para decidir qual é a melhor.

Escolher uma projeção é um problema de otimização

Depois que selecionamos uma maneira de medir a distorção e expressar seu valor para toda a região de interesse, o problema se torna relativamente direto: selecionar uma projeção entre as suportadas pelo software de uma pessoa e encontrar parâmetros permitidos para essa projeção (como sua central). meridiano, fator de escala etc.) que minimizam a medida geral da distorção.

Na aplicação, isso não é fácil de executar, porque existem muitas projeções possíveis, cada uma delas normalmente possui muitos parâmetros que podem ser definidos e, para minimizar as distorções médias na região, também precisamos calcular essas médias (que realizar uma integração bidimensional ou tridimensional cada vez que qualquer parâmetro de projeção for variado). Na prática, então, as pessoas geralmente empregam heurísticas para obter uma solução ótima aproximada:

• Identifique uma classe de projeções adequada para a tarefa. Por exemplo , se a avaliação correta dos ângulos for importante, restrinja-se a projeções conformes (como o HOM). Quando o cálculo de áreas ou densidades for importante, restrinja-se a projeções de áreas iguais (como o Albers). Quando for importante mapear os meridianos para linhas paralelas para cima e para baixo, escolha uma projeção cilíndrica. Etc etc.

• Nessa aula, concentre-se em um pequeno número conhecido - por experiência - como apropriado para a região de interesse de alguém. Essa escolha geralmente é feita com base em qual aspecto da projeção pode ser necessário (para o HOM, esse é um aspecto "oblíquo" ou rotacionado) e o tamanho da região (em todo o mundo, um hemisfério, um continente ou um menor) ) Quanto maior a região, mais distorção você terá que suportar. Em regiões menores ou do tamanho de um país, a seleção cuidadosa de uma projeção se torna cada vez menos importante, porque as distorções simplesmente não são tão grandes.

• Isso nos leva à questão atual: tendo selecionado algumas projeções, como escolher seus parâmetros? É aqui que o esforço anterior para enquadrá-lo como um problema de otimização vem à tona. Selecione os parâmetros para minimizar a medida de distorção geral escolhida. Isso é frequentemente feito por tentativa e erro, usando valores iniciais intuitivamente razoáveis.

Aplicação prática

Vamos examinar as etapas da pergunta dessa perspectiva.

1) ( Definição da região de interesse. ) É uma simplificação usar o casco convexo. Não há nada com isso, mas por que não usar exatamente a região de interesse? O GIS pode lidar com isso.

2 e 3) ( Localização de um centro de projeção ) . É uma ótima maneira de obter uma estimativa inicial do centro, mas - antecipando estágios subseqüentes nos quais variaremos os parâmetros de projeção - não é preciso ser muito exigente quanto a isso. Qualquer tipo de centro "cheio de olhos" será bom para começar.

4 e 5) ( Escolhendo o aspecto. ) Para a projeção HOM, a questão diz respeito a como orientá-la. Lembre-se de que a projeção Mercator padrão, em seu aspecto equatorial, mapeia com precisão o Equador e suas vizinhanças, mas depois aumenta sua distorção exponencialmente com a distância do Equador. O HOM usa essencialmente a mesma projeção, mas move o "Equador" sobre a região de interesse e a gira. O objetivo é colocar a região equatorial de baixa distorção sobre a maior parte da região de interesse. Devido ao crescimento exponencial da distorção longe do Equador, minimizar a distorção geral exige que prestemos atenção às partes de nossa região de interesse que estão mais afastadas da linha central. Assim, o nome deste jogo é encontrar uma linha (uma geodésica esférica) que transicione a região de maneira que (a) a maior parte da área esteja o mais próximo possível dessa linha (isso minimiza a distorção média) ou ( b) as partes da região que estão mais afastadas dessa linha estão o mais próximo possível (isso minimiza a distorção máxima).

Uma ótima maneira de executar esse procedimento por tentativa e erro é adivinhar uma solução e depois explorá-la rapidamente com um aplicativo interativo Tissot Indicatrix. (Consulte este exemplo em nosso site. Para os cálculos necessários, consulte https://gis.stackexchange.com/a/5075 .) A exploração geralmente se concentra nos pontos em que a projeção terá maior distorção. A TI não apenas medirá os vários tipos de distorção - escala, área, ângulo, direção - mas também representará graficamente essa distorção. A imagem vale mais que mil palavras (meia dúzia de números).

6) ( Escolhendo parâmetros ) Esta etapa é muito bem-feita: a pergunta descreve uma maneira quantitativa de avaliar a distorção na projeção de Albers (área cônica igual). Com a planilha em mãos, é fácil ajustar os dois paralelos de maneira que a distorção máxima seja minimizada. É um pouco mais difícil ajustá-los para minimizar a distorção média na região, portanto isso raramente é feito.

Sumário

Ao enquadrar a escolha da projeção como um problema de otimização, estabelecemos critérios práticos para fazer essa escolha com sabedoria e defesa. O procedimento pode ser efetivamente realizado por tentativa e erro, implicando que não é necessário um cuidado especial para a seleção inicial de parâmetros: experiência e intuição geralmente são suficientes para obter um bom começo e, em seguida, ferramentas interativas, como um aplicativo Tissot Indicatrix e software associado para distorções de computação podem ajudar a concluir o trabalho.

Desculpe, estou postando isso em "Resposta". Não tenho certeza se é apropriado (é muito longo para comentários). Sou novo neste site ... talvez eu devesse ter iniciado uma pergunta relacionada sobre a avaliação de distorção? Porém, eu estava trabalhando em uma ideia como resultado deste post na semana passada, para avaliar a distorção de escala associada à escolha de diferentes valores de centro de projeção, azimute e fator de escala para o HOM. Decidi postar a idéia aqui porque 1) talvez seja uma ferramenta útil que possa ser usada para ajudar a responder partes da pergunta original e 2) eu estava esperando um feedback sobre se isso parece uma abordagem razoável.

Usando o mesmo conceito que o whuber da planilha criado para avaliar a distorção da escala de Albers, crie uma planilha preenchida com as equações de Snyder para o HOM (fórmula elipsóide, “alternativa B”, página 74 de “Projeções de mapas - Um manual de trabalho”). O usuário digita os parâmetros elipsóides escolhidos (a e e) e os parâmetros de projeção "personalizados" (lat / long do centro de projeção, azimute da linha central, fator de escala e falso leste / norte). O restante das constantes da projeção é calculado automaticamente. A planilha também contém células para cada par de latão / comprimento (em incrementos de meio grau ou em incrementos desejados) na área de projeção. O fator de escala e as coordenadas retificadas em cada par de latão / comprimento são calculados automaticamente ao alterar qualquer um dos parâmetros de projeção. Agora, o fator de escala pode ser avaliado numericamente 1) computando uma média geral e um intervalo de distorção de escala na região da projeção e 2) as coordenadas dos pontos e seus fatores de escala associados podem ser facilmente importados para o ArcMap para criar uma imagem visual de como a escala distorção é distribuída. Obviamente, os resultados são apenas uma amostra e variam dependendo de quantos locais de latitude / longitude são avaliados, masisso soa como uma abordagem razoável?