Como criar um indicador Tissot preciso?

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Uma Indicatriz de Tissot é um método útil para comunicar rapidamente os tipos de distorção às quais uma determinada projeção está sujeita (na figura abaixo, cada um dos círculos vermelhos ocupa a mesma área). Foi-me dito que os métodos populares para gerar TIs têm seus próprios problemas, a ponto de às vezes serem lamentavelmente imprecisos.

Qual é o problema com os métodos populares e qual é a maneira mais correta de gerar uma TI acessível ao seu GIS (ette) médio?

Mercator e globos com tecidos

Matt Wilson
fonte
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ótima pergunta. Eu gostaria de saber isso também.
George Silva

Respostas:

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Qualquer software que possa projetar coordenadas com precisão pode calcular indicadores precisos da Tissot .

Uma boa fonte para as fórmulas é Snyder, John, Map Projections - A Working Manual , principalmente nas páginas 20-26. (Não vou reproduzi-los aqui porque este site não possui ferramentas apropriadas para comunicar fórmulas matemáticas.) Eles exigem todas as quatro primeiras derivadas das coordenadas projetadas (x, y) em relação às coordenadas esféricas (lat, lon) = (phi, lambda):

dx / d(phi), dx / d(lambda);
dy / d(phi), dy / d(lambda).

Todo o resto das TI é calculado em termos delas (usando algumas funções aritméticas e trigonométricas: cosseno, seno inverso principal e tangente inversa principal). Os cálculos requerem uma descrição da forma da Terra. Para maior precisão, use um dado elipsoidal com semi-eixo maior ae excentricidade e. (Eles serão conhecidos pelo software.)

O livro de Snyder tem instruções sobre como calcular tudo, exceto esses derivados. Faça numericamente. Eu tive excelentes resultados usando estimativas de diferenças finitas centrais de primeira ordem a uma distância de h = 10 ^ (- 5,2) radianos (normalmente em torno de 50 metros): este é um bom compromisso entre tentar chegar infinitamente perto e perder muita precisão de arredondamento de ponto flutuante (assumindo precisão dupla), porque o erro cometido é proporcional a (10 ^ (- 5,2)) ^ 2 = 10 ^ (- 10,4) e 10 ^ (- 5,2) é igual a 10 ^ 10,4 vezes a precisão de precisão dupla da IEEE de 10 ^ (- 15,6) e ainda é muito maior do que a precisão típica em projeções, que geralmente variam de 10 ^ (- 10) a cerca de 10 ^ (- 14).

Então, como você calcula estimativas de diferenças finitas? Esta parte é surpreendentemente fácil. Para obter dx / d (phi) em um ponto (phi, lambda), peça ao seu GIS para projetar os pontos

(phi - h/2, lambda) --> (x0,y0),
(phi + h/2, lambda) --> (x1,y1).

Use as estimativas

dx / d(phi) = (x1 - x0)/h,
dy / d(phi) = (y1 - y0)/h.

Da mesma forma, projete os pontos

(phi, lambda - h/2) --> (x2,y2),
(phi, lambda + h/2) --> (x3,y3)

e use as estimativas

dx / d(lambda) = (x3 - x2)/h,
dy / d(lambda) = (y3 - y2)/h.

São necessárias quatro projeções e um pouquinho de aritmética. (Você pode reduzi-lo para três usando diferenças não centrais, mas a precisão diminui um pouco. Seu objetivo é obter alta precisão, sem deixar que fique muito pequeno, a menos que você tenha certeza de que seu GIS está usando o nível de pesquisa (milímetro) precisão em suas fórmulas de projeção.)

A partir desses derivados, juntamente com as fórmulas de Snyder (prestando atenção às modificações descritas em 4-19 e 4-21), é possível obter os comprimentos dos eixos da Indicadora de Tissot em (phi, lambda) e sua orientação. Nos mapas em escala mundial, a TI será tão pequena que ficará invisível; portanto, a última coisa a fazer é decidir quanto você deseja redimensionar cada TI. Eu determino o fator de escala descobrindo o tamanho do mapa, descobrindo os tamanhos das TIs típicas no mapa e dimensionando para que essas TIs tenham aproximadamente 6% da largura do mapa. É um bom começo, de qualquer maneira; Deixei o usuário ajustar o tamanho da TI a partir daí. É claro que você redimensionará todas as TIs pela mesma quantidade, para que possam ser comparadas e cada uma será redimensionada em torno de seu próprio centro (que é obtido por uma quinta projeção (phi, lambda) -> (x, y) )

Uma boa adição à representação elíptica da TI é mostrar as direções do meridiano local e paralelo: então, de relance, você pode avaliar a convergência da grade . Também mostro um círculo padrão (representando nenhuma distorção) concêntrico com cada TI, porque melhora a capacidade do leitor de medir a quantidade de distorção representada por cada elipse.

texto alternativo

Destaca-se nesta projeção de Mollweide a TI extrema perto do pólo sul. Ainda é uma elipse perfeita e descreve com precisão a distorção do mapa.

whuber
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whuber é o melhor: p.
George Silva
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Percebi que a ESRI publicou um artigo sobre a criação de uma indicatriz de tecidos com buffers, o método de buffer está correto, uma vez que uma indicatriz e um buffer 'não são iguais'? blogs.esri.com/Support/blogs/mappingcenter/archive/2011/03/28/…
SaultDon
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@Sault Os buffers são um substituto para as TIs corretas. Eles funcionarão muito bem em geral, desde que não se estendam mais do que alguns graus, exceto onde as distorções se tornam extremas, onde também não funcionarão (porque o buffer se espalha por uma região de distorção infinita, como mostrado na ESRI ) ou resultam em formas não elípticas. Uma pequena alteração faria com que essa abordagem funcionasse muito melhor: calcule buffers minúsculos, como buffers de 50 m, e expanda cada um uniformemente (no mapa) ao redor do centro para torná-lo visível.
whuber
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Como você calculou a orientação das elipses?
Jason Davies
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@ Jason A indicatriz de Tissot nada mais é do que uma representação pictórica da derivada da projeção aplicada a um círculo no plano tangente em um ponto. A maneira mais simples de desenhá-lo é calcular essa derivada (é uma matriz A de 2 por 2 ), parametrizar o círculo e aplicar a derivada aos vértices parametrizados. Voila, você tem uma elipse. (Foi exatamente assim que as elipses da minha figura foram desenhadas.) Seus eixos podem ser computados como os autovetores de A'A ; este é um cálculo simples que envolve nada mais complicado que a fórmula quadrática.
whuber