Estou usando mockito em um teste junit. Como você faz uma exceção acontecer e depois afirma que possui (pseudo-código genérico)

Solução de estilo BDD (atualizada para Java 8)

Mockito sozinho não é a melhor solução para lidar com exceções, use Mockito com Catch-Exception

Mockito + Exceção de captura + AssertJ

given(otherServiceMock.bar()).willThrow(new MyException());

when(() -> myService.foo());

then(caughtException()).isInstanceOf(MyException.class);

Código de amostra

• Amostra completa de Mockito + Catch-Exception + Assertj

Dependências

• eu.codearte.catch-exception: catch-exception: 2.0
• org.assertj: assertj-core: 3.12.2

Para responder sua segunda pergunta primeiro. Se você estiver usando o JUnit 4, poderá anotar seu teste com

@Test(expected=MyException.class)

afirmar que ocorreu uma exceção. E para "simular" uma exceção com o mockito, use

when(myMock.doSomething()).thenThrow(new MyException());

Se você quiser testar a mensagem de exceção, poderá usar o ExpectedException do JUnit com o Mockito:

@Rule
public ExpectedException expectedException = ExpectedException.none();

@Test
public void testExceptionMessage() throws Exception {
    expectedException.expect(AnyException.class);
    expectedException.expectMessage("The expected message");

    given(foo.bar()).willThrow(new AnyException("The expected message"));
}

Resposta atualizada para 19/06/2015 (se você estiver usando o java 8)

Basta usar assertj

Usando assertj-core-3.0.0 + Java 8 Lambdas

@Test
public void shouldThrowIllegalArgumentExceptionWhenPassingBadArg() {
assertThatThrownBy(() -> myService.sumTingWong("badArg"))
                                  .isInstanceOf(IllegalArgumentException.class);
}

Referência: http://blog.codeleak.pl/2015/04/junit-testing-exceptions-with-java-8.html

Se você estiver usando o JUnit 4 e o Mockito 1.10.x, anote seu método de teste com:

@Test(expected = AnyException.class)

e para lançar a exceção desejada, use:

Mockito.doThrow(new AnyException()).when(obj).callAnyMethod();

Faça a exceção acontecer assim:

when(obj.someMethod()).thenThrow(new AnException());

Verifique se isso aconteceu afirmando que seu teste gerará uma exceção:

@Test(expected = AnException.class)

Ou pela verificação simulada normal:

verify(obj).someMethod();

A última opção é necessária se o seu teste for projetado para provar que o código intermediário lida com a exceção (ou seja, a exceção não será lançada do seu método de teste).

Use o doThrow do Mockito e, em seguida, capture a exceção desejada para afirmar que foi lançada mais tarde.

@Test
public void fooShouldThrowMyException() {
    // given
    val myClass = new MyClass();
    val arg = mock(MyArgument.class);
    doThrow(MyException.class).when(arg).argMethod(any());
    Exception exception = null;

    // when
    try {
        myClass.foo(arg);
    } catch (MyException t) {
        exception = t;
    }

    // then
    assertNotNull(exception);
}

Usando o mockito, você pode fazer a exceção acontecer.

when(testingClassObj.testSomeMethod).thenThrow(new CustomException());

Usando o Junit5, você pode afirmar a exceção, afirma se essa exceção é lançada quando o método de teste é chamado.

@Test
@DisplayName("Test assert exception")
void testCustomException(TestInfo testInfo) {
    final ExpectCustomException expectEx = new ExpectCustomException();

     InvalidParameterCountException exception = assertThrows(InvalidParameterCountException.class, () -> {
            expectEx.constructErrorMessage("sample ","error");
        });
    assertEquals("Invalid parametercount: expected=3, passed=2", exception.getMessage());
}

Encontre uma amostra aqui: assert exception junit

Não relacionado ao mockito, pode-se capturar a exceção e afirmar suas propriedades. Para verificar se a exceção ocorreu, afirme uma condição falsa no bloco try após a instrução que lança a exceção.

Ou se sua exceção for lançada do construtor de uma classe:

@Rule
public ExpectedException exception = ExpectedException.none();

@Test
public void myTest() {    

    exception.expect(MyException.class);
    CustomClass myClass= mock(CustomClass.class);
    doThrow(new MyException("constructor failed")).when(myClass);  

}

Afirme por mensagem de exceção:

    try {
        MyAgent.getNameByNode("d");
    } catch (Exception e) {
        Assert.assertEquals("Failed to fetch data.", e.getMessage());
    }