Dada uma matriz de números, retorne uma matriz de produtos de todos os outros números (sem divisão)

Fiz essa pergunta em uma entrevista de emprego e gostaria de saber como os outros a resolveriam. Eu me sinto mais à vontade com Java, mas soluções em outros idiomas são bem-vindas.

Dada uma matriz de números, numsretorne uma matriz de números products, onde products[i]é o produto de todos nums[j], j != i.

Input : [1, 2, 3, 4, 5]
Output: [(2*3*4*5), (1*3*4*5), (1*2*4*5), (1*2*3*5), (1*2*3*4)]
      = [120, 60, 40, 30, 24]

Você deve fazer isso O(N)sem usar a divisão.

Uma explicação do método de poligenelubricants é: O truque é construir as matrizes (no caso de 4 elementos)

{              1,         a[0],    a[0]*a[1],    a[0]*a[1]*a[2],  }
{ a[1]*a[2]*a[3],    a[2]*a[3],         a[3],                 1,  }

Ambos podem ser feitos em O (n) iniciando nas bordas esquerda e direita, respectivamente.

Multiplicar as duas matrizes elemento por elemento fornece o resultado necessário

Meu código ficaria assim:

int a[N] // This is the input
int products_below[N];
p=1;
for(int i=0;i<N;++i) {
  products_below[i]=p;
  p*=a[i];
}

int products_above[N];
p=1;
for(int i=N-1;i>=0;--i) {
  products_above[i]=p;
  p*=a[i];
}

int products[N]; // This is the result
for(int i=0;i<N;++i) {
  products[i]=products_below[i]*products_above[i];
}

Se você também precisa ser O (1) no espaço, pode fazê-lo (que é menos claro no IMHO)

int a[N] // This is the input
int products[N];

// Get the products below the current index
p=1;
for(int i=0;i<N;++i) {
  products[i]=p;
  p*=a[i];
}

// Get the products above the curent index
p=1;
for(int i=N-1;i>=0;--i) {
  products[i]*=p;
  p*=a[i];
}

Aqui está uma pequena função recursiva (em C ++) para fazer a modificação no local. No entanto, requer O (n) espaço extra (na pilha). Assumindo que a matriz esteja em a e N mantenha o comprimento da matriz, temos

int multiply(int *a, int fwdProduct, int indx) {
    int revProduct = 1;
    if (indx < N) {
       revProduct = multiply(a, fwdProduct*a[indx], indx+1);
       int cur = a[indx];
       a[indx] = fwdProduct * revProduct;
       revProduct *= cur;
    }
    return revProduct;
}

Aqui está a minha tentativa de resolvê-lo em Java. Desculpas pela formatação não padrão, mas o código tem muita duplicação, e é o melhor que posso fazer para torná-lo legível.

import java.util.Arrays;

public class Products {
    static int[] products(int... nums) {
        final int N = nums.length;
        int[] prods = new int[N];
        Arrays.fill(prods, 1);
        for (int
           i = 0, pi = 1    ,  j = N-1, pj = 1  ;
           (i < N)         && (j >= 0)          ;
           pi *= nums[i++]  ,  pj *= nums[j--]  )
        {
           prods[i] *= pi   ;  prods[j] *= pj   ;
        }
        return prods;
    }
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(
            Arrays.toString(products(1, 2, 3, 4, 5))
        ); // prints "[120, 60, 40, 30, 24]"
    }
}

Os invariantes de loop são pi = nums[0] * nums[1] *.. nums[i-1]e pj = nums[N-1] * nums[N-2] *.. nums[j+1]. A iparte da esquerda é a lógica do "prefixo" e a jparte da direita é a lógica do "sufixo".

Uma linha recursiva

Jasmeet deu uma (linda!) Solução recursiva; Eu o transformei neste (hediondo!) Java de uma linha. Ele realiza modificações no local , com O(N)espaço temporário na pilha.

static int multiply(int[] nums, int p, int n) {
    return (n == nums.length) ? 1
      : nums[n] * (p = multiply(nums, nums[n] * (nums[n] = p), n + 1))
          + 0*(nums[n] *= p);
}

int[] arr = {1,2,3,4,5};
multiply(arr, 1, 0);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
// prints "[120, 60, 40, 30, 24]"

Traduzindo a solução de Michael Anderson para Haskell:

otherProducts xs = zipWith (*) below above

     where below = scanl (*) 1 $ init xs

           above = tail $ scanr (*) 1 xs

Contornando furtivamente a regra "sem divisões":

sum = 0.0
for i in range(a):
  sum += log(a[i])

for i in range(a):
  output[i] = exp(sum - log(a[i]))

Aqui está, solução simples e limpa com complexidade O (N):

int[] a = {1,2,3,4,5};
    int[] r = new int[a.length];
    int x = 1;
    r[0] = 1;
    for (int i=1;i<a.length;i++){
        r[i]=r[i-1]*a[i-1];
    }
    for (int i=a.length-1;i>0;i--){
        x=x*a[i];
        r[i-1]=x*r[i-1];
    }
    for (int i=0;i<r.length;i++){
        System.out.println(r[i]);
    }

C ++, O (n):

long long prod = accumulate(in.begin(), in.end(), 1LL, multiplies<int>());
transform(in.begin(), in.end(), back_inserter(res),
          bind1st(divides<long long>(), prod));

1. Desloque-se para a Esquerda-> Direita e continue salvando o produto. Chame de passado. -> O (n)
2. Desloque-se para a direita -> esquerda, mantenha o produto. Chame de futuro. -> O (n)
3. Resultado [i] = Passado [i-1] * futuro [i + 1] -> O (n)
4. Passado [-1] = 1; e futuro [n + 1] = 1;

Em)

Aqui está minha solução em C ++ moderno. Faz uso std::transforme é muito fácil de lembrar.

Código online (caixa de varinha).

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

vector<int>& multiply_up(vector<int>& v){
    v.insert(v.begin(),1);
    transform(v.begin()+1, v.end()
             ,v.begin()
             ,v.begin()+1
             ,[](auto const& a, auto const& b) { return b*a; }
             );
    v.pop_back();
    return v;
}

int main() {
    vector<int> v = {1,2,3,4,5};
    auto vr = v;

    reverse(vr.begin(),vr.end());
    multiply_up(v);
    multiply_up(vr);
    reverse(vr.begin(),vr.end());

    transform(v.begin(),v.end()
             ,vr.begin()
             ,v.begin()
             ,[](auto const& a, auto const& b) { return b*a; }
             );

    for(auto& i: v) cout << i << " "; 
}

Este é O (n ^ 2), mas f # é muuuuito bonito:

List.fold (fun seed i -> List.mapi (fun j x -> if i=j+1 then x else x*i) seed) 
          [1;1;1;1;1]
          [1..5]

Pré-calcule o produto dos números à esquerda e à direita de cada elemento. Para cada elemento, o valor desejado é o produto de seus produtos neigbors.

#include <stdio.h>

unsigned array[5] = { 1,2,3,4,5};

int main(void)
{
unsigned idx;

unsigned left[5]
        , right[5];
left[0] = 1;
right[4] = 1;

        /* calculate products of numbers to the left of [idx] */
for (idx=1; idx < 5; idx++) {
        left[idx] = left[idx-1] * array[idx-1];
        }

        /* calculate products of numbers to the right of [idx] */
for (idx=4; idx-- > 0; ) {
        right[idx] = right[idx+1] * array[idx+1];
        }

for (idx=0; idx <5 ; idx++) {
        printf("[%u] Product(%u*%u) = %u\n"
                , idx, left[idx] , right[idx]  , left[idx] * right[idx]  );
        }

return 0;
}

Resultado:

$ ./a.out
[0] Product(1*120) = 120
[1] Product(1*60) = 60
[2] Product(2*20) = 40
[3] Product(6*5) = 30
[4] Product(24*1) = 24

(ATUALIZAÇÃO: agora eu olho mais de perto, isso usa o mesmo método de Michael Anderson, Daniel Migowski e poligenelubrificantes acima)

Complicado:

Use o seguinte:

public int[] calc(int[] params) {

int[] left = new int[n-1]
in[] right = new int[n-1]

int fac1 = 1;
int fac2 = 1;
for( int i=0; i<n; i++ ) {
    fac1 = fac1 * params[i];
    fac2 = fac2 * params[n-i];
    left[i] = fac1;
    right[i] = fac2; 
}
fac = 1;

int[] results = new int[n];
for( int i=0; i<n; i++ ) {
    results[i] = left[i] * right[i];
}

Sim, tenho certeza de que perdi algum i-1 em vez de i, mas é esse o caminho para resolvê-lo.

Também existe uma solução não ótima de O (N ^ (3/2)) . É bastante interessante, no entanto.

Primeiro pré-processe cada multiplicação parcial de tamanho N ^ 0,5 (isso é feito com complexidade de tempo O (N)). Em seguida, o cálculo para os outros valores múltiplos de cada número pode ser feito em 2 * O (N ^ 0,5) tempo (por quê? Porque você só precisa multiplicar os últimos elementos de outros números ((N ^ 0,5) - 1)), e multiplique o resultado por ((N ^ 0,5) - 1) números que pertencem ao grupo do número atual). Fazendo isso para cada número, pode-se obter o tempo O (N ^ (3/2)).

Exemplo:

4 6 7 2 3 1 9 5 8

resultados parciais: 4 * 6 * 7 = 168 2 * 3 * 1 = 6 9 * 5 * 8 = 360

Para calcular o valor de 3, é necessário multiplicar os valores dos outros grupos 168 * 360 e depois com 2 * 1.

public static void main(String[] args) {
    int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5 };
    int[] result = { 1, 1, 1, 1, 1 };
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            result[i] *= arr[j];

        }
        for (int k = arr.length - 1; k > i; k--) {
            result[i] *= arr[k];
        }
    }
    for (int i : result) {
        System.out.println(i);
    }
}

Esta solução surgiu e achei tão claro o que você acha !?

def productify(arr, prod, i):
    if i < len(arr):
            prod.append(arr[i - 1] * prod[i - 1]) if i > 0 else prod.append(1)
            retval = productify(arr, prod, i + 1)
            prod[i] *= retval
            return retval * arr[i]
    return 1

arr = [1, 2, 3, 4, 5] prod = [] productify (arr, prod, 0) print prod

Para estar completo aqui, está o código no Scala:

val list1 = List(1, 2, 3, 4, 5)
for (elem <- list1) println(list1.filter(_ != elem) reduceLeft(_*_))

Isso imprimirá o seguinte:

120
60
40
30
24

O programa filtrará o elem atual (_! = Elem); e multiplique a nova lista com o método reduzemLeft. Eu acho que isso será O (n) se você usar o scala view ou o Iterator para avaliação preguiçosa.

Com base na resposta Billz - desculpe, não posso comentar, mas aqui está uma versão do scala que lida corretamente com itens duplicados na lista e provavelmente é O (n):

val list1 = List(1, 7, 3, 3, 4, 4)
val view = list1.view.zipWithIndex map { x => list1.view.patch(x._2, Nil, 1).reduceLeft(_*_)}
view.force

retorna:

List(1008, 144, 336, 336, 252, 252)

Adicionando minha solução javascript aqui, pois não encontrei ninguém sugerindo isso. O que é dividir, exceto contar o número de vezes que você pode extrair um número de outro número? Passei por calcular o produto de toda a matriz e, em seguida, iterar sobre cada elemento e subtrair o elemento atual até zero:

//No division operation allowed
// keep substracting divisor from dividend, until dividend is zero or less than divisor
function calculateProducsExceptCurrent_NoDivision(input){
  var res = [];
  var totalProduct = 1;
  //calculate the total product
  for(var i = 0; i < input.length; i++){
    totalProduct = totalProduct * input[i];
  }
  //populate the result array by "dividing" each value
  for(var i = 0; i < input.length; i++){
    var timesSubstracted = 0;
    var divisor = input[i];
    var dividend = totalProduct;
    while(divisor <= dividend){
      dividend = dividend - divisor;
      timesSubstracted++;
    }
    res.push(timesSubstracted);
  }
  return res;
}

Estou acostumado a c #:

    public int[] ProductExceptSelf(int[] nums)
    {
        int[] returnArray = new int[nums.Length];
        List<int> auxList = new List<int>();
        int multTotal = 0;

        // If no zeros are contained in the array you only have to calculate it once
        if(!nums.Contains(0))
        {
            multTotal = nums.ToList().Aggregate((a, b) => a * b);

            for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
            {
                returnArray[i] = multTotal / nums[i];
            }
        }
        else
        {
            for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
            {
                auxList = nums.ToList();
                auxList.RemoveAt(i);
                if (!auxList.Contains(0))
                {
                    returnArray[i] = auxList.Aggregate((a, b) => a * b);
                }
                else
                {
                    returnArray[i] = 0;
                }
            }
        }            

        return returnArray;
    }

Podemos excluir o nums[j](where j != i) da lista primeiro e depois obter o produto do resto; O seguinte é um python waypara resolver este quebra-cabeça:

from functools import reduce
def products(nums):
    return [ reduce(lambda x,y: x * y, nums[:i] + nums[i+1:]) for i in range(len(nums)) ]
print(products([1, 2, 3, 4, 5]))

[out]
[120, 60, 40, 30, 24]

Bem, essa solução pode ser considerada a do C / C ++. Digamos que temos uma matriz "a" contendo n elementos como um [n], então o pseudo-código seria o seguinte.

for(j=0;j<n;j++)
  { 
    prod[j]=1;

    for (i=0;i<n;i++)
    {   
        if(i==j)
        continue;  
        else
        prod[j]=prod[j]*a[i];
  }

Mais uma solução, usando a divisão. com duas vezes a travessia. Multiplique todos os elementos e comece a dividi-lo por cada elemento.

{-
Solução recursiva usando subconjuntos sqrt (n). É executado em O (n).

Calcula recursivamente a solução em subconjuntos sqrt (n) de tamanho sqrt (n). 
Em seguida, recursa na soma do produto de cada subconjunto.
Em seguida, para cada elemento em cada subconjunto, ele calcula o produto com
a soma do produto de todos os outros produtos.
Em seguida, nivela todos os subconjuntos.

A recorrência no tempo de execução é T (n) = sqrt (n) * T (sqrt (n)) + T (sqrt (n)) + n

Suponha que T (n) ≤ cn em O (n).

T (n) = sqrt (n) * T (sqrt (n)) + T (sqrt (n)) + n
    ≤ sqrt (n) * c * sqrt (n) + c * sqrt (n) + n
    ≤ c * n + c * sqrt (n) + n
    ≤ (2c + 1) * n
    ∈ O (n)

Observe que o teto (sqrt (n)) pode ser calculado usando uma pesquisa binária 
e iterações O (logn), se a instrução sqrt não for permitida.
-}

otherProducts [] = []
otherProducts [x] = [1]
otherProducts [x, y] = [y, x]
otherProducts a = foldl '(++) [] $ zipWith (\ sp -> map (* p) s) resolvidoSubconjunto de subconjuntosOutrosProdutos
    Onde 
      n = comprimento a

      - tamanho do subconjunto. Exija que 1 <s <n.
      s = teto $ sqrt $ deIntegral n

      solvedSubsets = mapear outros subconjuntos de produtos
      subsetOtherProducts = outros produtos $ map subconjuntos de produtos

      subconjuntos = $ loop reverso a []
          onde loop [] acc = acc
                loop a acc = loop (drop sa) ((take sa): acc)

Aqui está o meu código:

int multiply(int a[],int n,int nextproduct,int i)
{
    int prevproduct=1;
    if(i>=n)
        return prevproduct;
    prevproduct=multiply(a,n,nextproduct*a[i],i+1);
    printf(" i=%d > %d\n",i,prevproduct*nextproduct);
    return prevproduct*a[i];
}

int main()
{
    int a[]={2,4,1,3,5};
    multiply(a,5,1,0);
    return 0;
}

Aqui está um exemplo um pouco funcional, usando C #:

            Func<long>[] backwards = new Func<long>[input.Length];
            Func<long>[] forwards = new Func<long>[input.Length];

            for (int i = 0; i < input.Length; ++i)
            {
                var localIndex = i;
                backwards[i] = () => (localIndex > 0 ? backwards[localIndex - 1]() : 1) * input[localIndex];
                forwards[i] = () => (localIndex < input.Length - 1 ? forwards[localIndex + 1]() : 1) * input[localIndex];
            }

            var output = new long[input.Length];
            for (int i = 0; i < input.Length; ++i)
            {
                if (0 == i)
                {
                    output[i] = forwards[i + 1]();
                }
                else if (input.Length - 1 == i)
                {
                    output[i] = backwards[i - 1]();
                }
                else
                {
                    output[i] = forwards[i + 1]() * backwards[i - 1]();
                }
            }

Não estou totalmente certo de que seja O (n), devido à semi-recursão dos Funcs criados, mas meus testes parecem indicar que é O (n) a tempo.

// Esta é a solução recursiva em Java // Chamada como a seguir do produto principal (a, 1,0);

public static double product(double[] a, double fwdprod, int index){
    double revprod = 1;
    if (index < a.length){
        revprod = product2(a, fwdprod*a[index], index+1);
        double cur = a[index];
        a[index] = fwdprod * revprod;
        revprod *= cur;
    }
    return revprod;
}

Uma solução elegante com tempo de execução O (n):

1. Para cada elemento, calcule o produto de todos os elementos que ocorrem antes disso e armazene em uma matriz "pre".
2. Para cada elemento, calcule o produto de todos os elementos que ocorrem após esse elemento e armazene-o em uma matriz "post"

3. Crie uma matriz final "resultado", para um elemento i,

   result[i] = pre[i-1]*post[i+1];
   

function solution($array)
{
    $result = [];
    foreach($array as $key => $value){
        $copyOfOriginalArray = $array;
        unset($copyOfOriginalArray[$key]);
        $result[$key] = multiplyAllElemets($copyOfOriginalArray);
    }
    return $result;
}

/**
 * multiplies all elements of array
 * @param $array
 * @return int
 */
function multiplyAllElemets($array){
    $result = 1;
    foreach($array as $element){
        $result *= $element;
    }
    return $result;
}

$array = [1, 9, 2, 7];

print_r(solution($array));

Aqui está outro conceito simples que resolve o problema O(N).

        int[] arr = new int[] {1, 2, 3, 4, 5};
        int[] outArray = new int[arr.length]; 
        for(int i=0;i<arr.length;i++){
            int res=Arrays.stream(arr).reduce(1, (a, b) -> a * b);
            outArray[i] = res/arr[i];
        }
        System.out.println(Arrays.toString(outArray));

Eu tenho uma solução com complexidade de O(n)espaço e O(n^2)tempo fornecida abaixo,

public static int[] findEachElementAsProduct1(final int[] arr) {

        int len = arr.length;

//        int[] product = new int[len];
//        Arrays.fill(product, 1);

        int[] product = IntStream.generate(() -> 1).limit(len).toArray();


        for (int i = 0; i < len; i++) {

            for (int j = 0; j < len; j++) {

                if (i == j) {
                    continue;
                }

                product[i] *= arr[j];
            }
        }

        return product;
    }