Qual é o primeiro número inteiro que um flutuador IEEE 754 é incapaz de representar exatamente?

Para maior clareza, se estou usando uma linguagem que implementa IEE 754 floats e declaro:

float f0 = 0.f;
float f1 = 1.f;

... e depois imprimi-los novamente, receberei 0,0000 e 1,0000 - exatamente.

Mas o IEEE 754 não é capaz de representar todos os números ao longo da linha real. Perto de zero, as 'lacunas' são pequenas; à medida que você se afasta, as lacunas aumentam.

Então, minha pergunta é: para um flutuador IEEE 754, que é o primeiro inteiro (mais próximo de zero) que não pode ser representado exatamente? Por enquanto, só estou realmente preocupado com flutuadores de 32 bits, embora eu esteja interessado em ouvir a resposta de 64 bits, se alguém der!

Eu pensei que isso seria tão simples quanto calcular 2 ^{bits_de_mantissa} e adicionar 1, onde bits_of_mantissa é quantos bits o padrão expõe. Eu fiz isso para carros alegóricos de 32 bits na minha máquina (MSVC ++, Win64), e parecia bom.

2 ^{bits de mantissa + 1} + 1

O +1 no expoente (mantissa bits + 1) é porque, se a mantissa contém abcdef...o número que representa 1.abcdef... × 2^e, na verdade , fornecendo um bit implícito extra de precisão.

Portanto, o primeiro número inteiro que não pode ser representado com precisão e será arredondado é:
Para float, 16.777.217 (2 ²⁴ + 1).
Para double, 9.007.199.254.740.993 (2 ⁵³ + 1).

>>> 9007199254740993.0
9007199254740992

O maior valor representável por um número inteiro de n bits é 2 ⁿ -1. Como observado acima, a floattem 24 bits de precisão no significado e parece implicar que 2 ²⁴ não se encaixaria.

No entanto .

Potências de 2 dentro do intervalo do expoente são exatamente representáveis ​​como 1,0 × 2 ⁿ , então 2 ²⁴ pode caber e, consequentemente, o primeiro número inteiro não representável floaté 2 ²⁴ +1. Como observado acima. Novamente.