O que é um código Bacon-Shor e qual é o seu significado?

Estou na conferência AQC da NASA e todo mundo parece estar subitamente falando sobre o código Bacon-Shor , mas não há página da Wikipedia e o pdf ao qual dei um link não explica realmente o que é e como funciona.

Como ele se compara ao código Shor ?

A principal diferença é que o código Bacon-Shor é um código de subsistema , enquanto o código Shor é um código estabilizador . Eles têm os mesmos operadores estabilizadores , mas o procedimento de correção de erros é diferente. A referência canônica para esta construção é [Poulin] .

Os códigos do estabilizador dependem da medição dos valores próprios dos operadores pendulares (os estabilizadores). Como esses operadores comutam, podemos rotular subespaços do espaço de estado por esses autovalores. Em particular, o espaço conjunto +1 eigenspace é o espaço de código . Se alguma de nossas medições resultar em um autovalor -1, sabemos que o estado saiu do espaço de código e pode (espero) fazer alguma coisa para corrigir isso.

Com os códigos do subsistema, também medimos os autovalores de alguns operadores, mas desta vez eles não formam um conjunto de operadores pendulares. Esses operadores são chamados de operadores de medidores . Eles geram um grupo chamado grupo de medidores . O truque para essa construção é que o centro do grupo de medidores é o grupo estabilizador. Este é o grupo de operadores gerados pelos operadores de medidores que se comutam com todos os elementos do grupo de medidores.

Como isso funciona na prática: suponha que você tenha um operador de estabilizador escrito como um produto de operadores calibre { g i } :$s$$\{g_i\}$

Agora vamos em frente e medimos cada um dos . Cada medida fornece um autovalor aleatório λ i = ± 1, mas o produto destes λ = ∏ λ i rotula o espaço próprio de s ao qual o estado pertence. Depois de termos todos os autovalores dos estabilizadores dessa maneira, podemos (espero) fazer algo para retificar o estado.$g_i$$\lambda_i = \pm 1$$\lambda = \prod \lambda_i$$s$

Um exemplo: acho útil pensar no "código Bacon-Shor de 4 qubit". Este é um erro ao detectar o código do subsistema. Os operadores de medidores são

Pense neles como operando em uma estrutura de qubits. Estes operadores gerar os estabilizadores X X X X e Z Z Z Z . Uma vez que medimos X X I I e I I X X Multiplicamos as duas medições de valores próprios para encontrar o valor próprio de X X X X . Esses operadores de medidores são "mais fáceis" de medir, porque envolvem apenas dois qubits, mas o custo é que atrapalhamos o estado de outras maneiras. Essas "outras formas" são as , e não nos importamos com elas. Os qubits codificados, ou$2\times 2$$XXXX$$ZZZZ.$$XXII$$IIXX$$XXXX$ qubits de bitolaqubits lógicos são os que estamos tentando preservar. Os operadores que atuam nos qubits codificados são os operadores lógicos . Para este exemplo, estes são e X I X I . Como exercício, eu recomendaria elaborar os vetores próprios (e os espaços próprios) correspondentes para todos esses operadores.$ZZII$$XIXI$

Os códigos Bacon-Shor maiores funcionam de maneira semelhante. Para um reticulado de qubits, há um grupo de operadores de calibre 2-qubit, dispostas como "dominó" sobre a estrutura. o$n\times n$operadores de medidor do tipo X são dominós horizontais e osoperadores de medidor do tipo Z são dominós verticais. Uma pilha vertical de n dosdominós do tipo X gera umestabilizador do tipo X em n × 2 qubits. E assim por diante.$X$$Z$$n$$X$$X$$n\times 2$

A relevância para a computação quântica adiabática é que podemos formar um hamiltoniano a partir desses operadores, como a soma negativa dos operadores de medidores. O espaço de base do Hamiltoniano corresponde aos qubits lógicos do código do medidor, e as excitações do estado correspondem a erros. Para o código Bacon-Shor, a diferença deste Hamiltoniano vai para zero à medida que o tamanho do sistema aumenta. Portanto, este hamiltoniano não trabalha para proteger o estado codificado (energeticamente.) Esse hamiltoniano também é conhecido como modelo de bússola quântica .

Também escrevi um artigo sobre códigos de subsistemas e hamiltonianos .

^{Isenção de responsabilidade : esta resposta é baseada no que deduzi de uma breve sessão de pesquisa no Google. Eu posso fazer mais adições / melhorias quando entender melhor os detalhes. Sinta-se livre para fazer sugestões nos comentários.}

A -qubit código Shor $9$ (qubits definidos em uma 3 × 3 reticulado) é o menor membro na família de m 2 -qubit código Bacon-Shor (S) [ [ m 2 , 1 , m ] ] (qubits disposto de m x m treliça). O código de Shor , como você sabe, pode corrigir os erros de sinal de Pauli e de bit de Pauli em um único qubit. Além disso, para corrigir$[[9,1,3]]$$3\times 3$$m^2$ $[[m^2,1,m]]$$m\times m$qualquererro de qubit único (com alta probabilidade), é suficiente para poder corrigir qualquer erro de Pauli de qubit único. ^[1]

Agora, código Bacon-Shor (s) é (/ são) uma generalização deste conceito de modelos de ruído, onde o qubit s em um bloco de código estão sujeitos a ambos os bit-flip erros com probabilidade e defasagem erros com probabilidade p Z . Presume-se que o ruído atue independentemente em cada qubit e os erros X e Z não sejam correlacionados.$p_X$$p_Z$$X$$Z$

In (Napp e Preskill, 2013) os autores achar que o código Bacon-Shor de tamanho óptimo para a igualdade de e Z erros taxa de $X$$Z$$p$$m=\frac{\log 2}{4p}$$X$$Z$$\tilde p(p) \lesssim \exp(\frac{-0.06}{p})$

$n \times m$$Z$$X$

Referências:

1. Correção de erro quântico para memórias quânticas (Barbara M. Terhal, 2015)
2. Códigos ótimos de Bacon-Shor (Napp & Preskill, 2012)
3. Computação quântica tolerante a falhas com códigos assimétricos de Bacon-Shor (Brooks & Preskill, 2013)

Código Shor

Pode detectar e corrigir erros arbitrários de qubit único, mas se houver 2 ou mais erros de qubit único antes de uma rodada de correção, a correção falhará. - Intuição para probabilidade de falha do código Shor

Código Bacon-Shor

Códigos Bacon-Shor, códigos do subsistema quântico que são adequados para aplicações em memória quântica tolerante a falhas, porque a síndrome do erro pode ser extraída através da realização de medições de dois qubit. Códigos ótimos de Bacon-Shor

Ao contrário do código de Shor, esses estabilizadores não conseguem identificar o qubit exato no qual um bit-flip ocorre, eles podem apenas identificar a coluna na qual ele ocorre. - Correção de erro quântico

$[[n^2, 1, n]]$

Mostramos que para todo código Shor generalizado existe um código de subsistema com os mesmos parâmetros, mas que requer significativamente menos medições do estabilizador para executar a correção quântica de erros. - Erro quântico corrigindo códigos de subsistema de dois códigos lineares clássicos

Além disso, aqui está um vídeo da Computação Universal Tolerante a Falhas da Microsoft com Códigos Bacon-Shor .