Isomorfismo entre o grupo Clifford e os quaternions

Como encontro um isomorfismo explícito entre os elementos do grupo Clifford e cerca de 24 quaterniões?

A parte fácil: a multiplicação de matrizes deve corresponder à multiplicação de quaterniões.

A matriz de identidade $I$ deve ser mapeada para o quaternion $1$ .

A parte difícil: para que devem ser mapeados os outros elementos do grupo Clifford? Como os elementos a seguir geram o grupo inteiro, o mapeamento será suficiente:

H = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] and P = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}]

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\text{ and }P=\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}$

Alguém pode ajudar?

clifford-group Registro do nó
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Os quaternions são representados fielmente em duas dimensões pela matriz unitária e as matrizes Pauli multiplicadas pela unidade imaginária: $i = \sqrt{-1} X$ , $j = \sqrt{-1} Y$ e $k = \sqrt{-1} Z$ respectivamente, portanto, você só precisa escrever $H$ e $P$ as combinações lineares: $H = -\frac{\sqrt{-1} }{\sqrt{2}}(i+k)$ e $P = \frac{1+\sqrt{-1}}{2}(1-k)$

No entanto, este não é um isomorfismo entre o grupo Clifford e os quaternions, porque aqui usamos os quaternions como uma álgebra e não um grupo. O que se pode dizer que o grupo Clifford é isomórfico para um subgrupo de elementos invertíveis da álgebra do quaternião.

O grupo quatérnion termo é reservada para outro subgrupo dos elementos inversíveis da álgebra Quatérnion consistindo de $\pm 1$ , $\pm (-iX = R_x(\pi))$ , $\pm (-iY = R_y(\pi))$ e $\pm (-iZ = R_z(\pi))$ . Esse grupo é chamado de grupo quaternário. Este grupo pode ser gerado por $\pi$ rotações em torno de dois eixos principais. No entanto, o grupo quaternário da ordem 8 não é isomórfico ao grupo Clifford da ordem 24, que pode ser gerado por $\frac{\pi}{2}$ rotações em torno de dois eixos principais. O grupo Clifford é, em certo sentido, a raiz quadrada do grupo quaternion.

Esclarecimentos

@ Knot Log, Desculpe, eu o enganei em dois pontos:

1) As unidades imaginárias dos quaternions devem ser representadas como $i = \sqrt{-1} X$ , $j = \sqrt{-1} Y$ , $k = \sqrt{-1} Z$ , pois eles precisam quadrar para $-1$ (eu corrigi isso no texto principal).

$\sqrt{-1}$ $i$ $H$ $P$

$H$ $P$ $\mathbb{Z}_8$

$24$ $R_x(\frac{\pi}{2})$ $R_z(\frac{\pi}{2})$

David Bar Moshe
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Obrigado por seu esclarecimento sobre o grupo Clifford / álgebra Clifford / quaternions / quaternion. Você declarou minha pergunta como "O que se pode dizer que o grupo Clifford é isomórfico a um subgrupo de elementos invertíveis da álgebra de quaternion". Você tem uma idéia de como determinar esses quaternions?

Knot Log

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (X + Z)

$H = \frac{1}{\sqrt{2}}(X+Z)$

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (i + k)

$H = \frac{1}{\sqrt{2}}(i+k)$

P

$P$

1

$1$

Z

$Z$

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (i + k)

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}(i+k)$

P = \frac{1 + i}{2} + \frac{1 - i}{2} k

$P=\frac{1+i}{2}+\frac{1-i}{2}k$

Você está certo. Se, após a obtenção desses 48 quaterniões, você considerar as classes de equivalência desconsiderando o sinal de menos , haverá um isomorfismo com os 24 elementos do grupo Clifford. Obrigado!

Knot Log

@ Knot Log, Desculpe, eu o enganei em dois pontos, eu adicionei um esclarecimento em uma atualização.

David Bar Moshe

Isomorfismo entre o grupo Clifford e os quaternions

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