Vários circuitos de controle com efeitos sobrepostos

Estou familiarizado com o uso do PID para executar o controle de loop fechado quando há uma única saída e um único sinal de erro para verificar se a saída está atingindo o ponto de ajuste desejado.

Suponha, no entanto, que haja vários circuitos de controle, cada um com uma saída e um sinal de erro, mas os circuitos não são totalmente independentes. Em particular, quando um loop aumenta o sinal do atuador, isso altera o impacto da saída de outros loops no sistema.

Para um exemplo concreto, imagine uma fonte de tensão em série com um resistor, aplicando uma tensão em um sistema de seis resistores ajustáveis ​​em paralelo. Podemos medir a corrente através de cada resistor e queremos controlar a corrente de cada resistor independentemente, ajustando a resistência. Obviamente, o truque aqui é que, quando você ajusta a resistência de um resistor, ele altera a resistência geral do conjunto paralelo, o que significa que altera a queda de tensão devido ao divisor com a resistência da fonte de tensão e, portanto, altera a corrente através dos outros resistores .

Agora, claramente, temos um modelo ideal para esse sistema, para que possamos prever qual resistência devemos usar para todos os resistores simultaneamente, resolvendo um conjunto de equações lineares. No entanto, o ponto principal do controle de malha fechada é que queremos corrigir vários erros / vieses desconhecidos no sistema que se desviam do nosso modelo ideal. A questão então: qual é uma boa maneira de implementar o controle de loop fechado quando você tem um modelo com esse tipo de acoplamento cruzado?

Tipicamente, com um m últiplo i ntrada, m últiplo o utput (MIMO) do sistema, um engenheiro de controlo utiliza um controlador de feedback estado . Esse estilo de controlador utiliza um modelo de espaço de estado do sistema e geralmente assume a forma:

$$\dot{x}=\mbox{A}x+\mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

onde é um vetor de estados, u é um vetor de entradas, y é um vetor de saídas e a derivada de tempo dos estados, ˙ x , mostra como os estados evoluem ao longo do tempo, conforme determinado pelas combinações de estados A e entradas B . As saídas são também determinadas por uma interacção entre os estados e entradas, mas as saídas podem ser qualquer combinação, de modo que as matrizes de estado de entrada e de saída são diferentes, - C e D .$x$$u$$y$$\dot{x}$$\mbox{A}$$\mbox{B}$$\mbox{C}$$\mbox{D}$

Não entrarei em muitos detalhes sobre os controles de feedback de estado, mas, em geral, as matrizes "mapeiam" ou associam um determinado estado ou entrada a outro estado ou entrada. Por exemplo, se você deseja modelar um sistema de equações diferenciais não relacionadas, obterá algo como:$\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$

, que representa: ˙ x 1=k1x

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]$$ $$\dot{x}_1 = k_1 x_1 \\ \dot{x}_2 = k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 = k_3 x_3 \\ $$

Se você deseja adicionar a entrada à equação de ˙ x 1 e a entrada u 2 a ˙ x 3 , você pode adicionar um termo B u :$u_1$$\dot{x}_1$$u_2$$\dot{x}_3$$\mbox{B}u$

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$$

$x_1$$x_2$

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ \boxed{ k_{x_1 \rightarrow x_2} } & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$$

Quando você escreve isso agora, obtém:

$$\begin{array} \\ \dot{x}_1 & = & k_1 x_1 + u_1 \\ \dot{x}_2 & = & k_{x_1 \rightarrow x_2}x_1 + k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 & = & k_3 x_3 + u_2 \end{array}$$

$\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$$\mbox{A}$

$\mbox{A}$

Você também pode avaliar o sistema para ver se ele é controlável , o que significa que você pode usar suas entradas para alterar todos os estados de uma maneira única e para ver se é observável , o que significa que você pode realmente determinar quais são os valores do estados são.

$-\mbox{G}x$

$$\dot{x} = \mbox{A}x + \mbox{B}(u - \mbox{G}x) \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

que se torna:

$$\dot{x} = \mbox{A}x - \mbox{BG}x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

que pode ser reorganizado como:

$$\dot{x} = [\mbox{A}-\mbox{BG}]x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

$\mbox{A}$$\mbox{A-BG}$$\mbox{G}$

$y$$\hat{y}$$R\times I$

Como eu disse, há muitas informações envolvidas na modelagem de sistemas e no design de controladores de feedback de estado. Acabei de descrever o processo geral, pois acredito que esse é o escopo que você estava procurando com sua pergunta.