Métodos numéricos para inversão de transformadas integrais?

Estou tentando inverter numericamente a seguinte transformação integral:

$$F(y) = \int_{0}^{\infty} y\exp{\left[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\right]} I_0\left(xy\right)f(x)\;\mathrm{d}x$$

Portanto, para um dado $F(y)$ , preciso aproximar onde:$f(x)$

• F ( y $f(x)$ e são reais e positivos$F(y)$ (são distribuições de probabilidade contínuas)
• $x,y$ são reais e positivos (são magnitudes)

Eu tenho um método muito confuso e de força bruta para fazer isso no momento:

Eu defino e o spline sobre uma série de pontos, os valores dos pontos estriados são 'adivinhados' por amostragem aleatória, o que gera um previsto . Um algoritmo genético básico que escrevi minimiza a diferença entre a matriz prevista e medida . Tomo então qual o algoritmo converge como minha resposta para a inversão.F ( y ) F ( y ) f ( x $f(x)$$F(y)$$F(y)$$f(x)$

Essa abordagem funciona razoavelmente bem em alguns casos simples, mas parece confusa para mim e não particularmente robusta.

Alguém pode me dar orientação sobre melhores maneiras de resolver esse problema?

Obrigado pelo seu tempo e ajuda!

[publicado em x em Computerscience]

Um método bastante simples seria escolher uma base no espaço de funções e converter a transformação integral em uma matriz. Então você pode simplesmente inverter a matriz.

Matematicamente, aqui está como isso funciona: você precisa de algum conjunto de funções de base ortonormais . (Você pode sair sem que eles sejam normalizadas também, mas é mais fácil de explicar desta maneira.) Meios Ortonormais que o produto interno ⟨ T i , T j ⟩ = δ i j , onde$T_i(x)$$\langle T_i,T_j\rangle = \delta_{ij}$

$$\langle T_i,T_j\rangle \equiv \int_a^b W(x) T_i(x)T_j(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{ij}\tag{1}$$

Aqui é uma função de peso. Isso e os limites de um e b estão vinculados a sua escolha de T i . Depois de escolher qual conjunto de funções básicas usar, você pode codificar os limites e a função de peso no seu programa.$W(x)$$a$$b$$T_i$

Usando a ortonormalidade, você pode expressar qualquer função, como e F ( y ) , como combinações lineares dessas funções básicas:$f(x)$$F(y)$

$$\begin{align} f(x) &= \sum_{i} c_i T_i(x) & F(y) &= \sum_{j} C_j T_j(y) \tag{2} \end{align}$$

onde os coeficientes são calculados como

$$\begin{align} c_i &= \langle f,T_i\rangle = \int_a^b W(x) f(x)T_i(x)\,\mathrm{d}x \tag{3}\\ C_j &= \langle F,T_j\rangle = \int_a^b W(y) F(y)T_j(y)\,\mathrm{d}y \tag{4} \end{align}$$

Você pode verificar se essas expressões são consistentes com as definições dos coeficientes, eq. (2) e a ortonormalidade, eq. (1)

Agora, calcule a transformação de cada uma das funções básicas; vamos chamá-lo.$\tilde{T}_i(y)$

$$\tilde{T}_i(y) \equiv \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x$$

é uma função, e assim você pode expressá-lo como uma combinação linear das funções de base, assim como fizemos com$\tilde{T}_i(y)$ e F ( y ) :$f(x)$$F(y)$

$$\tilde{T}_i(y) = \sum_k A_{ik}T_k(y)$$

onde os elementos da matriz são determinados da mesma maneira que encontramos c i e C j acima:$A_{ik}$$c_i$$C_j$

$$A_{ik} = \langle \tilde{T}_i, T_k\rangle = \int_a^b W(y) \tilde{T}_i(y)T_k(y)\,\mathrm{d}y\tag{5}$$

Na prática, esta é uma integral dupla em vez nojento, mas você só tem que fazer isso uma vez (nunca) para cada combinação de e k . Você pode fazer as integrais numericamente e codificar os valores resultantes em seu programa. (Nota: Com uma escolha inteligente de$i$$k$ e W ( x ) ., Você pode ser capaz de fazê-lo assim a integral pode ser feito simbolicamente Se isto é possível depende do seu transformar Você pode fazer isso com o. Transformação de Fourier, mas estou inclinado a pensar que não é possível a transformação que você está perguntando aqui.)$T_i(x)$$W(x)$

Em termos dos elementos da matriz e coeficientes c i e C j , a relação entre f ( x ) e F ( y ) se reduz a um sistema linear$A_{ik}$$c_i$$C_j$$f(x)$$F(y)$

$$\begin{align} \overbrace{\sum_{j} C_j T_j(y)}^{F(y)} &= \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)\overbrace{\sum_{i} c_i T_i(x)}^{f(x)}\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k(y) \end{align}$$

Dada a ortogonalidade das funções de base, é possível isolar qualquer coeficiente , retirando o produto interno de ambos os lados com T ℓ :$C_{\ell}$$T_{\ell}$

$$\begin{align} \left\langle \biggl(\sum_{j} C_j T_j\biggr), T_\ell\right\rangle &= \left\langle \biggl(\sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k\biggr), T_\ell\right\rangle \\ \int_a^b W(y) \sum_{j} C_j T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \int_a^b W(y) \sum_{i} c_i \sum_{j} A_{ik}T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \int_a^b W(y) T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\int_a^b W(y) T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \delta_{j\ell} &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\delta_{k\ell} \\ C_\ell &= \sum_{i} c_i A_{i\ell} \end{align}$$

$\ell$$C_j$

$C_j$$c_i$$A_{ij}$$c_i$$A_{ij}$$C_j$$F(y)$

$F(y)$$C_j$

$$C_j = \sum_{i} c_i A_{ij}$$

$A$

$i$$j$$1$$N$$N$$f(x)$$T_1(x),\ldots,T_N(x)$$1$$M$$F(y)$$T_1(y),\ldots,T_M(y)$$M = N$$M$$N$$N$$c_i$$A$$M\times N$$A_{11}$$A_{NM}$

$[-1,1]$$T_i$$W(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$a = -1$$b = 1$$\langle T_i, T_j\rangle = \delta_{ij}\pi/2$$i = j\neq 0$$\langle T_0, T_0\rangle = \pi$