Explicação básica da função de forma

Comecei a estudar o MEF de forma mais estruturada em comparação com o que costumava fazer durante meus cursos de graduação. Estou fazendo isso porque, apesar de poder usar o "FEM" em softwares comerciais (e outros não comerciais), gostaria de realmente entender as técnicas subterrâneas que suportam o método. É por isso que venho aqui com essa pergunta básica, pelo menos para o usuário experiente da técnica.

Agora estou lendo um livro bastante popular (acho) e "engenheiro-amigável" chamado "Método dos elementos finitos - o básico" de Zienkwicz. Estive lendo este livro da primeira página, mas ainda não consigo entender o conceito de função da forma da maneira que Zienkwicz explica.

O que sei das coisas que eu li é que uma matriz "Rigidez", a que relaciona as incógnitas com o resultado ( $A$ em: $Ak=b$ ), tem seus componentes das "relações entre os nós" e se esse "relacionamento" mudar (por exemplo, se o mudarmos para um interpolante de ordem superior), essa matriz de rigidez mudará, porque o relacionamento entre os nós muda.

Mas neste livro, a definição é bastante confusa para mim, porque em algum momento diz que você pode escolher arbitrariamente a função como, ie, a matriz de identidade:

A única explicação que encontrei está neste blog , mas ainda não está claro para mim. Então, alguém pode me dar uma explicação simples e clara do que é uma função Shape e como é feita para "colocá-la" na matriz de rigidez?

Eu sempre achei a abordagem para descrever métodos de elementos finitos que se concentra no sistema linear discreto e funciona de trás para frente desnecessariamente confusa. É muito mais claro seguir o outro caminho, mesmo que isso envolva um pouco de notação matemática no início (que tentarei manter no mínimo).

Suponha que você esteja tentando resolver uma equação para dado f e u desconhecido , onde A é um operador linear que mapeia funções (por exemplo, descrevendo o deslocamento em todos os pontos ( x , y ) de um domínio) em um espaço V para funções em outro espaço (por exemplo, descrevendo as forças aplicadas). Como o espaço de função V é geralmente de dimensão infinita, esse sistema não pode ser resolvido numericamente. A abordagem padrão é, portanto, substituir V por um subespaço de dimensão finita V he procurar por$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$ V h satisfazendo A u h = f . Isso ainda é de dimensão infinita devido ao espaço do intervalo (que assumiremos que a simplicidade também seja V ), então pedimos apenas que o A u h - f ∈ V residualseja ortogonal a V h - ou equivalente , que v T h ( A u h - f ) = 0 para cada vetor base v h in. Se agora escrevermos o u $u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$como uma combinação linear desses vetores de base, ficamos com um sistema linear para os coeficientes desconhecidos nessa combinação. (Os termos são exatamente as entradas da matriz de rigidez K i j , e v T j$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$ são as entradas do vetor de carga. Se é um operador diferencial, geralmente é possível integrar as partes em algum momento , mas isso não é importante aqui.)$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

Na abordagem de engenharia do MEF em Mecânica Estrutural, como ela é apresentada, você perde a sensação de que está resolvendo Equações Diferenciais Parciais .

Eles mostram essas matrizes, eles atribuem algum significado físico e, na minha opinião, isso o leva a desenvolver uma intuição física dúbia para o campo.

Pode ser útil pensar sobre o assunto em termos de geometria.A solução para um problema de valor limite para o PDE é de alguma forma. VI Arnol disse certa vez elogiando as realizações de Newton no campo, parafraseando - ele fez uma coisa maravilhosa ao criar o campo de equações diferenciais, permitindo reformular os problemas das ciências naturais em problemas geométricos de curvas no plano e superfícies no espaço.

No FEM você aproxima a solução (no FD e FVM você aproxima a equação governante).

Digite Boris Gligorievich Galerkin. O que BG Galerkin disse?

Ele disse: “ Quero que você não seja capaz de tornar residual com as mesmas funções básicas que você usou para criar a solução. "

(PS Esta história não é completamente verdadeira e exorto meus leitores a encontrar uma explicação melhor do método de (Bubnov-) Galerkin, se existir.)

Funções básicas ou de avaliação são aquelas que você usa para criar a solução. Você os usa para aproximar o formato da solução.

$Ku=f$

FEM é quando você aproxima a forma da função de solução peça por peça. Em cada peça - o elemento - você tem algumas formas básicas (funções da forma) que têm alguma flexibilidade e podem aproximar várias soluções - mas apenas uma é a solução para o seu problema. Existem funções de forma tanto quanto existem nós. A i-ésima função de forma é igual a uma no i-ésimo nó, em outros nós é zero. Resolução$Ku=f$

A coisa mais importante a saber sobre "funções da forma" é que elas descrevem como as variáveis ​​dependentes que você deseja calcular (por exemplo, deslocamento) variam em função das coordenadas espaciais do elemento (por exemplo, x e y) em termos de alguns parâmetros escalares desconhecidos.

Freqüentemente, as funções de forma são polinômios simples e os parâmetros escalares são os valores das variáveis ​​dependentes nos nós do elemento.

A formação das equações de elementos finitos usando essas funções de forma requer alguns outros conceitos fundamentais, como estabelecer uma "forma fraca" da equação diferencial parcial que você está tentando resolver.

Existe um monte de "misticismo" desnecessário associado ao método dos elementos finitos, por isso encorajo sua abordagem de tentar obter uma compreensão completa dos fundamentos.

Minha opinião está na aula 4 em http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html . Em particular, ele fornece uma idéia de por que escolhemos as funções de chapéu que costumamos usar quando usamos o método dos elementos finitos - ou seja, porque elas levam ao importante conceito de esparsidade, mesmo que muitas outras opções de funções básicas tivessem sido Igualmente válido.

Todo elemento tem associado a ele um modelo de deslocamento que expressa a variação da variável de campo (variável dependente) em termos de coeficientes generalizados e variáveis ​​independentes (x, y, z), por exemplo: 1D u (x) = a0 + a1x para 2 lineares nodais o elemento u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 para 3 elementos quadráticos assentidos e assim por diante. Aqui ai s são os coeficientes generalizados. Em seguida, eliminamos ai s e expressamos a variação da variável de campo em termos de funções de forma e valores nodais da variável de campo. por exemplo: u (x) = N1 u1 + N2 u2 A função que relaciona a variação da variável de campo com o valor nodal da variável de campo é chamada de “SHAPE FUNCTION”. O número de funções de forma dependerá do número de nós e do número de variáveis ​​por nó. As funções de forma podem, portanto, ser vistas como funções, que denotam a contribuição de cada valor nodal em pontos internos do elemento. Para um elemento com dois acenos No nó 1, a contribuição de N1 é unidade e a de N2 é zero.

No nó 2, a contribuição de N2 é a unidade e a de N1 é zero.

No ponto médio do elemento, ambos os nós têm peso ou influência iguais. Portanto, as funções de forma indicam não apenas como a variável de campo varia sobre o elemento, mas também quanta influência cada valor nodal da variável de campo tem em pontos internos do elemento. Feliz aprendizado :)

Também expliquei as funções da forma em mais detalhes aqui: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Explica passo a passo de maneira visual como o método Rayleigh-Ritz funciona. Escrever este artigo finalmente me ajudou a entender as funções da forma.

de acordo com meu entendimento, as funções de forma nada mais são do que a relação entre as variáveis ​​de campo e os pontos nodais.

Suponha que nossa terra esteja sendo pressurizada com cargas externas e nossa terra vai rachar. pelo método analítico, usamos muitas fórmulas e descobrimos que em alguma parte (como assumir o continente asiático) a Terra vai rachar. Usando o método FEM, dividimos a terra em diferentes países, estados e cidades, unimos cada cidade e, finalmente, juntamos todas as cidades para formar um globo chamado terra. funções de forma é a chave que fornece uma ponte entre as cidades combinadas para formar um estado e um país e, finalmente, um globo. é o link que conecta a malha. Uma vez feito isso, a carga é aplicada e o local exato pode ser encontrado onde a rachadura começa e que pode ser reforçada.

Espero que isso tenha ajudado.

De acordo com o que eu entendo sobre as funções da forma, é sobre conectar as coordenadas nodais geométricas ao deslocamento do elemento com a mesma função da forma.

Considere um caso 1D. Uma barra com 2 nós termina.

Quando conecto esse elemento com suas coordenadas nodais, posso descobrir o deslocamento em qualquer ponto desse elemento com a ajuda da função de interpolação.

Então, basicamente, as funções de forma são as aproximações que fazemos para encontrar deformações em qualquer ponto do espaço de maneira louvável.

Funções de forma são as funções que relacionam o deslocamento em qualquer ponto do elemento ao deslocamento dos nós do elemento. Um gráfico da função de forma versus pontos no elemento mostra a "forma" deformada do elemento e, portanto, o nome da função de forma.