Taxas de convergência de elementos finitos para problemas mistos

Eu codifiquei um problema do Stokes Flow usando elementos finitos e estou no processo de verificar se ele funciona. Só não tenho certeza de qual taxa de convergência devo esperar enquanto refino a malha globalmente.

Conheço problemas escalares usando funções de base linear que eu esperaria convergência de ordem ( é o tamanho do elemento), e usando funções de base quadrática eu esperaria convergência de ordem na norma e uma potência a menos em o seminário . O problema que estou tendo agora é que, ao codificar o fluxo de Stokes, usei o elemento Taylor-Hood, que usa lineares para a pressão e quadrático para os componentes de velocidade. É tão simples quanto as velocidades convergentes em e a pressão na ordem ? $h^2$ $h$ $h^3$ $L^2$ $H^1$ $h^3$ $h^2$

Publiquei isso no mathoverflow primeiro e me disseram que poderia ser mais adequado para este fórum.

pde finite-element convergence Lukas Bystricky
fonte

A aproximação de Taylor-Hood do fluxo de Stokes é um método misto de elementos finitos, para o qual as estimativas de erro geralmente têm a forma que é o exato solução e é a aproximação. Para o fluxo de Stokes, e (com valor médio zero). Para o elemento - -Taylor-Hood, consiste em polinômios quadráticos por partes contínuos e

\begin{matrix} (1) & ‖ u - u_{h} ‖_{V} + ‖ p - p_{h} ‖_{M} \leq C (inf_{w_{h} \in V_{h}} ‖ u - w_{h} ‖_{V} + inf_{q_{h} \in M_{h}} ‖ p - q_{h} ‖_{M}), \end{matrix}

$\|u-u_h\|_V + \|p-p_h\|_M \leq C (\inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_V + \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_M), \tag{1}$

(u, p) \in V \times M

$(u,p)\in V\times M$

(u_{h}, p_{h}) \in V_{h} \times M_{h}

$(u_h,p_h)\in V_h\times M_h$

V = H_{0}^{1} (Ω)^{d}

$V=H^1_0(\Omega)^d$

M = L^{2} (Ω)

$M = L^2(\Omega)$

P_{2}

$P_2$

P_{1}

$P_1$

V_{h}

$V_h$

M_{h}

$M_h$ de polinômios lineares contínuos por partes, para os quais os dois termos do lado direito podem ser delimitados por erros de aproximação quadrática usando argumentos padrão (por exemplo, regras de transformação e lema de Bramble-Hilbert): (regra geral "número de derivadas à esquerda" potências de número de derivadas a direita"). Inserir isso em gera (supondo que a solução exata seja de fato bastante regular).

\begin{aligned} inf_{w_{h} \in V_{h}} ‖ u - w_{h} ‖_{H^{1}} & \leq C h^{2} ‖ u ‖_{H^{3}} \\ inf_{q_{h} \in M_{h}} ‖ p - q_{h} ‖_{L^{2}} & \leq C h^{2} ‖ p ‖_{H^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_{H^1} &\leq C h^2\|u\|_{H^3}\\ \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_{L^2} &\leq C h^2\|p\|_{H^2}\\ \end{aligned}$

+

$+$

h

$h$

=

$=$

(1)

$(1)$

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} + ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{2} (‖ u ‖_{H^{3}} + ‖ p ‖_{H^{2}}) .

$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2}).$

Como o problema de Stokes contínuo e o discreto são um sistema linear acoplado triangular superior da forma a estimativa de erro (que explora que a diferença das soluções satisfaz um sistema semelhante para e e usa a de no kernel de ) para depende em geral do erro em .

\begin{aligned} A u + B^{*} p & = f \\ B u & = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} Au + B^* p &= f\\ Bu &=0\end{aligned}$

A_{h}

$A_h$

B_{h}

$B_h$

A

$A$

B

$B$

u - u_{h}

$u-u_h$

p - p_{h}

$p-p_h$

No entanto, se você olhar para a prova, há um furo de loop: se o espaço nulo de estiver contido no espaço nulo de , o termo do acoplamento será eliminado e você obterá uma estimativa de erro envolvendo apenas : A partir daí, você pode aplicar o truque de Aubin-Nitsche padrão (se a equação adjacente estiver bem colocada, que é o caso se o domínio for regular o suficiente - um polígono convexo em 2D ou tiver um limite que possa ser parametrizado por uma função diferenciável de Lipschitz) para obter uma taxa de convergência para o erro de uma ordem maior: $B_h$ $B$ $u$

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C h^{2} ‖ u ‖_{H^{3}}

$\|u-u_h\|_{H^1} \leq C h^2 \|u\|_{H^3}$

Ω

$\Omega$

L^{2}

$L^2$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{3} ‖ u ‖_{H^{3}}

$\|u-u_h\|_{L^2} \leq C h^3 \|u\|_{H^3}$

Você pode encontrar esses resultados em Ern, Guermond: Teoria e Prática de Elementos Finitos , Springer, 2004 . (As estimativas de erro são coletadas no Teorema 4.26, enquanto a regularidade necessária para está definida no Lema 4.17; infelizmente, as provas estão espalhadas pelo livro e acho que não é verificado em nenhum lugar explicitamente.) $\Omega$ $\ker B_h\subset \ker B$

Christian Clason
fonte

Parece que você trabalhou muito na compilação desta resposta. Eu realmente aprecio isso. Você pode esclarecer onde obteve a estimativa: , ou isso é apenas dado?

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} + ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{2} (‖ u ‖_{H^{3}} + ‖ p ‖_{H^{2}})

$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2})$

Lukas Bystricky

Não tem problema, feliz se for de alguma ajuda. A estimativa vem da inserção dos erros de interpolação padrão na primeira estimativa; Eu adicionei essa etapa.

Christian Clason

Experimentalmente (usando um domínio de caixa que não pode ser parametrizado por uma função diferenciável), estou obtendo convergência em e convergência em para todo o sistema.

h^{2}

$h^2$

L^{2}

$L^2$

h

$h$

H^{1}

$H^1$

Lukas Bystricky 16/07/2014

Hmm, então eu não tenho muita ideia no momento. Essa é realmente mais uma pergunta nova, que as pessoas mais familiarizadas com os problemas de Stokes estão melhor equipadas para responder. Por que você não faz uma nova pergunta (use o link abaixo), onde descreve exatamente qual problema está solucionando (lado direito, condições de contorno, geometria, solução exata), o que espera ver e o que está obtendo ? (Se o código deal.II é pequeno o suficiente, você pode postar isso também, alguns dos principais desenvolvedores são contribuintes freqüentes aqui.)

Christian Clason

Acontece que eu estava olhando para os componentes incorretos na minha solução. Quando olho para os componentes corretos, recebo em e em para as velocidades e 1 potência menor para a pressão.

h^{3}

$h^3$

L^{2}

$L^2$

h^{2}

$h^2$

H^{1}

$H^1$

Lukas Bystricky

Taxas de convergência de elementos finitos para problemas mistos

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