Critério de estabilidade para ondas em sólidos anisotrópicos

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As equações de movimento para um sólido elástico são dadas por

σ+f=ρu¨σ=Cεε=12(u+[u]T)

ou na notação de índice

σij,j+fi=ρui¨σij=Cijklεklε=12(ui,j+uj,i)

u é o vetor de deslocamento, é a força do corpo (termo de origem), é o tensor de tensão, é o tensor de tensão e é o tensor de rigidez. No caso de sólidos isotrópicos, o tensor de rigidez é escrito em termos de duas constantes diferentes , para domínios sem limites, a equação admite dois tipos de ondas que não estão acoplados e o critério de estabilidade é dado pelo pior caso dos dois casos diferentes (ou seja, , aquele com maior velocidade).fσεC

Para materiais isotrópicos transversais , existem 5 parâmetros independentes que definem o tensor e 3 tipos de ondas (2 delas são acopladas). No caso mais geral, o número de parâmetros é 21 e a onda é acoplada.

Pergunta: Como você encontra o critério de estabilidade em um algoritmo de marcha no tempo para o caso geral?

nicoguaro
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Como você define "estabilidade" e que tipo de critério procura?
precisa saber é o seguinte
Estou procurando estabilidade em um esquema numérico explícito. O equivalente da condição CFL.
Nicoguaro

Respostas:

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Equações de onda como essa podem ser reescritas como um sistema hiperbólico de leis de conservação de primeira ordem:

qt+F(q)=0.

O tempo estável para qualquer discretização numérica explícita depende do número da CFL, que é proporcional à velocidade máxima da onda que aparece no problema. Essa velocidade pode ser encontrada calculando-se os autovalores da função jacobiana da função de fluxo, e tomando o maior (em valor absoluto).F

Nas dimensões , possui componentes e a análise adequada requer a localização dos valores próprios das combinações lineares arbitrárias desses componentes. Mas para a maioria dos sistemas, incluindo a elasticidade, é suficiente olhar para os valores próprios de cada um dos componentes do .F d FdFdF

Uma boa referência para essa teoria é o texto de LeVeque sobre métodos de volume finito . A elasticidade é abordada em detalhes no capítulo 22.

Todas as advertências usuais sobre a condição CFL se aplicam: é uma condição necessária, mas geralmente não suficiente para a estabilidade. Mas a condição suficiente para a estabilidade de uma determinada discretização é geralmente dada pela condição CFL multiplicada por alguma constante. Para encontrar seu critério de estabilidade, é necessário conhecer a velocidade máxima da onda (com base nas equações que você está resolvendo) e a constante (com base na discretização que você está usando).

David Ketcheson
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obrigado pela sua resposta. Estudei o capítulo no livro de Leveque, e deduziu a forma das matrizes , e . E reduzi os polinômios característicos a equações cúbicas, que, em geral, são difíceis de resolver. Para verificar sua sugestão, simplifico as equações para o caso isotrópico transversal, e os autovalores de cada um não são os máximos das velocidades. Em seguida, calculei os autovalores para combinações lineares e eles mudam dependendo da direção (conforme descrito no livro). É necessário encontrar o máximo para todas as direções possíveis? B CABC
Nicoguaro
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No caso de um material anisotrópico, as velocidades de fase das ondas que viajam através desse material são determinadas pela equação de Christoffel: Aqui, é a densidade do material, é a velocidade de propagação da onda, é o delta de Kronecker, é o vetor unitário na direção .ρ c δ n j j

[ρc2δijCijklnjnl][uk]=0
ρcδnjj

Pode-se observar que a solução corresponde a tomar o determinante dos parênteses à esquerda, o que fornece uma equação de autovalor nos autovalores .ρc2

Assim, no caso anisotrópico tridimensional, ainda temos três velocidades de fase diferentes para uma determinada direção de propagação, a maior das quais deve ser usada para análise de CFL, de maneira semelhante à maneira como a velocidade longitudinal é usada em um problema isotrópico.

DanielRch
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1
maxθ,ϕmaxiλi(θ,ϕ)
λi
1

Expandirei a resposta fornecida por @DavidKetcheson. Primeiro, as equações são reescritas como um sistema hiperbólico de leis de conservação de primeira ordem:

qt+F(q)=0

ou

qt+Aqx+Bqy+Cqz=0

Onde é um vetor de estado formado com os componentes do tensor de tensão e componentes do vetor de velocidade .q(σ11,σ22,σ33,σ12,σ23,σ13)(u,v,w)

q=(σ11σ22σ33σ12σ23σ13uvw),

A=(000000c11c16c15000000c12c26c25000000c13c36c35000000c14c46c45000000c15c56c55000000c16c66c561ρ000000000001ρ00000000001ρ000),

B=(000000c16c12c14000000c26c22c24000000c36c23c34000000c46c24c44000000c56c25c45000000c66c26c460001ρ0000001ρ000000000001ρ0000),

C=(000000c15c14c13000000c25c24c23000000c35c34c33000000c45c44c34000000c55c45c35000000c56c46c36000001ρ00000001ρ0000001ρ000000).

Para calcular a velocidade do problema (conforme descrito acima), precisamos formar a matriz , onde é um vetor de unidade e determina a direção da propagação. Para encontrar a condição CFL é necessário resolverA^(n1,n2,n3)=n1A+n2B+n3Cn=(n1,n2,n3)

max(θ,ϕ)maxiγi(θ,ϕ)

onde são ângulos esféricos e são os valores próprios da matriz .(θ,ϕ)γiA^(θ,ϕ)

Com base nisso, e na resposta fornecida por @DavidKetcheson, é mais simples calcular os autovalores da equação de Christoffel e resolver o problema de otimização.

max(θ,ϕ)maxiλi(θ,ϕ)

com autovalores da equação de Christoffel. E a velocidade é apenas . c = λic=λi/ρ

nicoguaro
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