Como amostrar pontos no espaço hiperbólico?

O espaço hiperbólico no modelo de meio espaço superior de Poincaré se parece com mas com a noção de ângulo e distância distorcida de uma maneira relativamente simples. No espaço euclidiano, eu posso amostrar um ponto aleatório uniformemente em uma bola de várias maneiras, por exemplo, gerando amostras gaussianas independentes para obter uma direção e separadamente uma coordenada radial amostrando uniformemente de , onde é o raio e a configuração$\Bbb R^n$$n$$r$$s$$\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$$R$$r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$. No meio plano hiperbólico superior, uma esfera ainda é uma esfera, apenas seu centro não será o centro da métrica euclidiana, para que possamos fazer o mesmo.

Se queremos amostrar de acordo com uma distribuição não uniforme, mas ainda de maneira isotrópica, por exemplo, uma distribuição gaussiana, isso não parece tão fácil. No espaço euclidiano, poderíamos apenas gerar uma amostra gaussiana para cada coordenada (isso só funciona para a distribuição gaussiana) ou, equivalentemente, gerar uma amostra gaussiana multidimensional. Existe uma maneira direta de converter essa amostra em uma amostra no espaço hiperbólico?

Uma abordagem alternativa poderia primeiro gerar uma direção uniformemente distribuída (por exemplo, a partir de amostras gaussianas) e depois uma amostra gaussiana para o componente radial e, finalmente, gerar a imagem sob o mapa exponencial na direção especificada para o comprimento especificado. Uma variação seria apenas pegar a amostra gaussiana euclidiana e mapeá-la sob o mapa exponencial.$n$

Minhas perguntas:

• qual seria uma maneira boa e eficiente de obter uma amostra gaussiana com média e desvio padrão no espaço hiperbólico?
• as formas descritas acima fornecem a amostra desejada?
• alguém já elaborou a fórmula já?
• como isso se generaliza para outras métricas e outras distribuições de probabilidade?

Desde já, obrigado.

EDITAR

Acabei de perceber que, mesmo no caso de amostragem uniforme, essas questões permanecem; mesmo que uma esfera seja uma esfera, uma distribuição uniforme não seria descrita por uma função constante em uma bola.

Estou no meio de fazer isso por mim mesma. Penso que o análogo mais adequado ao gaussiano seria o núcleo de calor no espaço hiperbólico. Felizmente, isso já foi descoberto antes: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (também disponível em um Boletim da Sociedade Matemática de Londres ).

$e^{-dist^2/constant}$

Aqui está uma amostra uniforme da bola de raio 3, centralizada na origem:

Se desejar, ficaria feliz em dizer mais. Eu apenas pensei em colocar isso, já que havia claramente algum interesse nisso, pelo menos no passado.

O pi constante é apenas uma constante no espaço euclidiano. O valor de pi é diferente em outras geometrias. O parâmetro pi altera a massa de probabilidade sob o Gaussiano. O parâmetro pi é usado para normalizar as probabilidades. Estou apenas começando a estudar isso.

Concluí há algum tempo que o espaço muda de hiperbólico para euclidiano para esférico à medida que o número de sigmas aumenta. Fiquei feliz em abordar uma discussão sobre círculos em cada espaço e pi em função dos espaços Lp através do parâmetro p.

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