Como amostrar pontos no espaço hiperbólico?

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O espaço hiperbólico no modelo de meio espaço superior de Poincaré se parece com mas com a noção de ângulo e distância distorcida de uma maneira relativamente simples. No espaço euclidiano, eu posso amostrar um ponto aleatório uniformemente em uma bola de várias maneiras, por exemplo, gerando amostras gaussianas independentes para obter uma direção e separadamente uma coordenada radial amostrando uniformemente de , onde é o raio e a configuraçãoRnnrs[0 0,1 1n+1 1Rn+1 1]Rr=((n+1 1)s)1 1n+1 1. No meio plano hiperbólico superior, uma esfera ainda é uma esfera, apenas seu centro não será o centro da métrica euclidiana, para que possamos fazer o mesmo.

Se queremos amostrar de acordo com uma distribuição não uniforme, mas ainda de maneira isotrópica, por exemplo, uma distribuição gaussiana, isso não parece tão fácil. No espaço euclidiano, poderíamos apenas gerar uma amostra gaussiana para cada coordenada (isso só funciona para a distribuição gaussiana) ou, equivalentemente, gerar uma amostra gaussiana multidimensional. Existe uma maneira direta de converter essa amostra em uma amostra no espaço hiperbólico?

Uma abordagem alternativa poderia primeiro gerar uma direção uniformemente distribuída (por exemplo, a partir de amostras gaussianas) e depois uma amostra gaussiana para o componente radial e, finalmente, gerar a imagem sob o mapa exponencial na direção especificada para o comprimento especificado. Uma variação seria apenas pegar a amostra gaussiana euclidiana e mapeá-la sob o mapa exponencial.n

Minhas perguntas:

  • qual seria uma maneira boa e eficiente de obter uma amostra gaussiana com média e desvio padrão no espaço hiperbólico?
  • as formas descritas acima fornecem a amostra desejada?
  • alguém já elaborou a fórmula já?
  • como isso se generaliza para outras métricas e outras distribuições de probabilidade?

Desde já, obrigado.

EDITAR

Acabei de perceber que, mesmo no caso de amostragem uniforme, essas questões permanecem; mesmo que uma esfera seja uma esfera, uma distribuição uniforme não seria descrita por uma função constante em uma bola.

doetoe
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@ Sim, obrigado pelo seu comentário. Em todo espaço topológico, você tem a álgebra sigma Borel, gerada pela topologia. Uma métrica riemanniana fornece uma noção de volume. Se o volume total for finito, isso pode ser normalizado para fornecer uma distribuição de probabilidade ou, de maneira mais geral, fornecer distribuições de probabilidade uniformes de maneira direta em conjuntos mensuráveis ​​de volume finito. Desde que você tem uma estrutura geométrica, incluindo a noção de geodésicas e comprimentos de arco, você também pode definir distribuições gaussianas por uma densidade de probabilidade que decai por distância da mesma forma como no espaço euclidiano
doetoe
@ sim Pode ser mais fácil coletar amostras em torno do centro da bola no modelo de bola e transportá-la através de uma isometria, pelo menos as rotações euclidianas e hiperbólicas ao redor do centro coincidem. Se isso é realmente o mais eficiente, a questão reduziria a forma de amostragem em torno do centro no modelo de disco, de acordo com a distribuição normal da métrica hiperbólica.
Doetoe 20/05
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Você deve conseguir adaptar o coletor Riemanniano de Mark Girolami, MCMC, para gerar amostras aqui. Mas pode ser um exagero. Você faz o MCMC, mas gera propostas disparando geodésicas a partir do ponto atual.
Nick Alger
@ NickAlger que parece interessante, você tem um link?
doetoe 7/03
Aqui está seu artigo principal sobre isso. Eles transformam o problema de amostrar uma distribuição não uniforme no espaço plano em um problema de amostrar uma distribuição uniforme em um coletor, enquanto você começa com uma distribuição uniforme no coletor. rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/...
Nick Alger

Respostas:

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Estou no meio de fazer isso por mim mesma. Penso que o análogo mais adequado ao gaussiano seria o núcleo de calor no espaço hiperbólico. Felizmente, isso já foi descoberto antes: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (também disponível em um Boletim da Sociedade Matemática de Londres ).

edist2/constant

(21 1-||x||2)ndx1 1dxn

Aqui está uma amostra uniforme da bola de raio 3, centralizada na origem: insira a descrição da imagem aqui

Se desejar, ficaria feliz em dizer mais. Eu apenas pensei em colocar isso, já que havia claramente algum interesse nisso, pelo menos no passado.

Edward Chien
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Obrigado! Ainda não tive tempo de estudar o artigo que gostei, mas ele parece interessante e relevante
doetoe
σ/2
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O pi constante é apenas uma constante no espaço euclidiano. O valor de pi é diferente em outras geometrias. O parâmetro pi altera a massa de probabilidade sob o Gaussiano. O parâmetro pi é usado para normalizar as probabilidades. Estou apenas começando a estudar isso.

Concluí há algum tempo que o espaço muda de hiperbólico para euclidiano para esférico à medida que o número de sigmas aumenta. Fiquei feliz em abordar uma discussão sobre círculos em cada espaço e pi em função dos espaços Lp através do parâmetro p.

David W Locke
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n

Lucas Roberts
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