Esquemas implícitos de diferenças finitas para a equação de advecção

Existem numerosos esquemas de FD para a equação de advecção discutir na web. Por exemplo, aqui: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Mas não vi ninguém propor um esquema a favor do vento "implícito" como este: .$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

Todos os esquemas a favor do vento que eu vi estavam lidando com dados sobre o passo de tempo anterior na derivada espacial. Qual a razão disso? Como o esquema a favor do vento clássico se compara ao que escrevi acima?

É bastante comum na dinâmica de fluidos computacional usar esquemas implícitos semelhantes ao que você propõe. As que eu conheço são baseadas em fórmulas compactas de diferenças finitas (não apenas na substituição de por n + 1 em esquemas existentes). Por exemplo, um dos esquemas mais utilizados foi desenvolvido por Lele em 1992 neste artigo, com mais de 2500 citações. Tais esquemas podem ser feitos para ter melhores propriedades dispersivas do que os esquemas explícitos típicos.$n$$n+1$

O upwinding é geralmente menos importante ao usar métodos implícitos e tamanhos de etapas grandes, porque a enorme quantidade de difusão (mencionada por Jeremy) significa que você não pode resolver os choques de qualquer maneira.

Em relação ao esquema específico que você propõe:

• Pode ser obtido a partir de uma discretização de método de linhas usando uma diferença de retorno no espaço e o método de Euler (implícito) no tempo.
• $u\ge0$$u<0$
• É mais dissipativo do que o esquema explícito tradicional contra o vento.
• $\tau u/h = 1$$\tau u/h = -1$

Não há razão para que você não possa fazer o que escreveu. Uma das razões pelas quais isso é incomum é que, para problemas do tipo hiperbólico (advecção), o domínio da dependência é finito. Assim, métodos explícitos fazem sentido do ponto de vista da eficiência computacional.

O esquema implícito que você escreveu exigirá a solução de um sistema linear, embora você tenha escrito triangular e, portanto, bastante simples de resolver. É claro que quando você acessa sistemas e várias dimensões, o sistema provavelmente não será triangular, embora às vezes isso possa resultar em uma ordenação adequada de suas incógnitas (veja, por exemplo, Kwok e Tchelepi, JCP 2007 e Gustafsson e Khalighi, JSC, 2006 )

Às vezes, na esperança de dar grandes passos, as pessoas usam passos implícitos como você escreveu, mas você deve ter cuidado aqui. Ao usar um método implícito, você introduzirá uma grande quantidade de difusão e, portanto, borrará sua solução significativamente.