Cálculo rápido de

Eu tenho a seguinte pergunta:

Suponha que eu tenha duas matrizes $X, Y$ ambas de tamanho $m\times p$ e uma matriz gaussiana iid aleatória $G$ de tamanho $m \times k$ , $m\gg p>k$ .

Existe uma maneira rápida de calcular $\exp(-XY^T)G$ ? Talvez usando o fato de que $X$ e $Y$ sejam muito menores que $XY^T$ ? Aqui, $\exp(\cdot)$ significa expoente de entrada (isto é, de $\textbf{each}$ entrada da matriz). Claramente, sem o expoente, é fácil e pode ser feito simplesmente por $X(Y^TG)$ , mas o problema é que o expoente em elementos não é mais baixo.

A motivação para a pergunta é multiplicar um núcleo do formulário

$D_{ij}=\exp(-d_{ij})$ ou$D_{ij}=\exp(-d_{ij}^2)$

$d_{ij}=\Vert x_i-y_j \Vert$$x_i, y_i \in \mathbb{R}^p$

Uma solução aproximada também é boa.

Se as aproximações forem suficientes, talvez possamos começar desenvolvendo o operador seguinte maneira: Observe que os termos de potência seguem sua notação em elementos e consulte os poderes de Hadamard, abusando levemente das convenções padrão.$\exp$

$$\exp(Z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{Z^k}{k!} = 1+Z+\frac{Z^2}{2} + \frac{Z^3}{6} + \frac{Z^4}{24} + ...$$

Isso oferece possibilidades para reescrever a expressão: onde sou uma matriz de identidade de tamanho apropriado. Se alguém pudesse viver com aproximações de primeira ordem, então: resultando em uma operação mais fácil. Para aproximações de ordem superior, você gostaria de descobrir a solução para o poder Hadamard, que provavelmente é um pouco mais difícil ou ainda não vi uma solução imediata.

$$\begin{align} \exp{(-XY^T)}G &= \Big(I-XY^T+\frac{(XY^T)^2}{2} - \frac{(XY^T)^3}{6} + \frac{(XY^T)^4}{24} - ...\Big)G \\ &=G-XY^TG+\frac{(XY^T)^2G}{2} - \frac{(XY^T)^3G}{6} + \frac{(XY^T)^4G}{24} - ... \end{align}$$ $I$ $$\begin{align} \exp{(-XY^T)}G &= G-XY^TG+ O(max(|XY^T|)^2)\\ &\approx G-XY^TG = G-X(Y^TG) \end{align}$$