Desvantagens de esquemas comuns de discretização para simulações de CFD

Outro dia, meu instrutor de dinâmica de fluidos computacional estava ausente e ele enviou seu candidato a PhD para substituí-lo. Na palestra que ele deu, ele parecia indicar várias desvantagens associadas a vários esquemas de discretização para simulações de fluxo de fluido:

Método das Diferenças Finitas: É difícil satisfazer a conservação e solicitar geometrias irregulares

Método do volume finito: tende a ser inclinado em direção às arestas e à física unidimensional.

Método dos Elementos Finitos: É difícil resolver equações hiperbólicas usando o MEF.

Galerkin descontínuo: é o melhor (e pior) de todos os mundos.

Divisão de flutuação: Eles ainda não são amplamente aplicáveis.

Após a palestra, tentei perguntar a ele onde ele conseguiu essas informações, mas ele não especificou nenhuma fonte. Também tentei fazê-lo esclarecer o que ele queria dizer com DG como "o melhor e o pior de todos os mundos", mas não consegui uma resposta clara. Só posso supor que ele chegou a essas conclusões a partir de sua própria experiência.

Pela minha própria experiência, só posso verificar a primeira alegação de que é difícil aplicar o FDM a geometrias irregulares. Para todas as outras reivindicações, não tenho experiência suficiente para verificá-las. Estou curioso para saber quão precisas essas alegadas 'desvantagens' são para simulações de CFD em geral.

As características propostas são razoáveis ​​no sentido de que representam aproximadamente a opinião popular. Essa questão tem um escopo enorme, então vou fazer algumas observações agora. Eu posso elaborar em resposta a comentários. Para uma discussão relacionada mais detalhada, consulte Quais são os critérios para escolher entre diferenças finitas e elementos finitos?

• Métodos de diferenças finitas conservadoras de baixa ordem estão prontamente disponíveis para redes não estruturadas. Métodos de FD não oscilatórios de alta ordem são outra questão. Nos esquemas WENO de Diferença Finita, a física aparece em uma divisão de fluxo que não está disponível para todos os solucionadores de Riemann.

• Os métodos de volume finito funcionam bem em várias dimensões, mas para ir acima da segunda ordem para estruturas de fluxo gerais, você precisa de pontos de quadratura de face extras e / ou soluções transversais de Riemann, aumentando consideravelmente o custo em relação aos métodos de DF. No entanto, esses métodos de FV podem ser aplicados a malhas não suaves e não estruturadas e podem usar solucionadores de Riemann arbitrários.

• Métodos de elementos finitos contínuos podem ser usados ​​para CFD, mas a estabilização se torna delicada. Geralmente, não é prático ter métodos estritamente não-oscilatórios e a estabilização geralmente precisa de informações adicionais, como entropia. Quando a matriz de massa consistente é usada, o passo explícito no tempo se torna muito mais caro. Os métodos contínuos de Galerkin não são localmente conservadores, o que causa problemas para fortes choques. Veja também Por que a conservação local é importante na solução de PDEs?

• Os métodos descontínuos de Galerkin podem usar qualquer solucionador Riemann para conectar elementos. Eles têm melhores propriedades de estabilidade não linear inerentes do que os outros métodos comuns. A DG também é bastante complicada de implementar e geralmente não é monótona dentro de um elemento. Existem limitadores para a DG que garantem a positividade ou um princípio máximo.

• Existem outros métodos, como a diferença espectral (por exemplo, Wang et al 2007 ou Liang et al 2009 ) que têm o potencial de serem muito eficientes (como a diferença finita), embora tenham mais flexibilidade geométrica e alta precisão de ordem.

Fluxos com número elevado de Reynolds têm finas camadas limite, exigindo elementos altamente anisotrópicos para serem resolvidos com eficiência. Para elementos incompressíveis ou quase incompressíveis, isso causa problemas significativos para muitas discretizações. Para discussões adicionais, principalmente da perspectiva dos métodos de elementos finitos, consulte Quais discretizações espaciais funcionam para fluxo incompressível com malhas de limite anisotrópico?

Para problemas constantes, a capacidade de usar com eficiência multigrid não linear (FAS) é atraente. Os métodos FD, FV e DG geralmente podem usar o FAS eficientemente porque, grosso modo,

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

Essa proporção geralmente é superior a 10 para métodos de elementos finitos contínuos. Essa proporção não é suficiente para um SAF eficiente com smoothers ponto ou elemento, no entanto. Também é necessário ter uma discretização elíptica para usar na correção de defeitos ou modificar o ciclo multigrid. Para uma discussão mais aprofundada, consulte Existe um algoritmo multigrid que resolve problemas de Neumann e tem uma taxa de convergência independente do número de níveis? Uma resposta positiva a essa pergunta de pesquisa poderia oferecer um SAF eficiente para elementos finitos contínuos.$h$

Em suma, para a DG:

Uma conseqüência do relaxamento dos requisitos de continuidade através dos limites dos elementos é que o número de variáveis ​​no DG-FEM é maior do que o equivalente contínuo para o mesmo número de elementos.

Por outro lado, devido à formulação local (em termos de elementos), temos as seguintes vantagens:

• Os termos não estacionários e de origem são totalmente dissociados entre os elementos. Matrizes de massa podem ser invertidas no nível do elemento.
• Paralelização mais fácil.
• Os refinamentos adaptativos (h, p e hp) são facilitados - não há necessidade de renumeração global de nós.