Decomposição do valor próprio da soma: A (simétrica) + D (diagonal)

Suponha que é uma matriz simétrica real e sua decomposição de autovalor é dada. É fácil ver o que acontece com os autovalores da soma que é uma constante escalar (consulte esta pergunta ). Podemos tirar alguma conclusão no caso geral onde é uma matriz diagonal arbitrária? Obrigado. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

Saudações,

Ivan

linear-algebra Ivan
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Você pode obter melhores respostas se você especificar que tipo de conclusões que você está interessado.

David Ketcheson

@ David David Ketcheson, sim, você está absolutamente certo. Na verdade, estou tentando encontrar um meio eficaz de calcular uma sequência de exponenciais matriz da forma de

onde

é fixo e

são matrizes diagonais. Eu esperava realizar a decomposição de autovalor de

apenas uma vez e depois usá-la de alguma forma para explicar a correção introduzida pelas matrizes diagonais. Infelizmente,

não é de comutação de um modo geral, de modo que

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ . Ficaria muito grato se você pudesse compartilhar alguma idéia sobre isso. Obrigado.

267 Ivan

Isto está relacionado com scicomp.stackexchange.com/questions/503/...

Geoffrey Irving

Respostas:

Pode-se dizer muito pouco, exceto para generalidades, como que os valores próprios mudam continuamente com as entradas de . $D$

Você pode ver por computação simbólica no caso 2 por 2 que nada de forte pode ser esperado.

Arnold Neumaier
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Obrigado pela resposta, eu sabia que ouviria algo assim. Posso pedir que você dê uma olhada no meu comentário acima.

267 Ivan

a complexidade de calcular uma matriz exponencial e a de calcular uma fatoração espectral são praticamente a mesma. Portanto, não, não há solução simples. O que você pode fazer, no entanto, caso suas matrizes diagonais estejam em um subespaço lowD, para calcular a parte relevante do exponencial (ou mesmo o que você quiser calcular) para várias opções específicas bem distribuídas em seu espaço dos valores desejados e use um algoritmo de interpolação para aproximar todos os outros.

Arnold Neumaier 26/07/12

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

D

$D$

Ming Gu e Stanley C. Eisenstat já estudaram esse problema antes, consulte o link: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Este artigo resolve o problema de permutação número um, que não pode resolver o problema aqui. Se alguém encontrar o problema de permutação número um, isso ajuda.

skyuuka
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Adicionar uma matriz diagonal não é uma correção de classificação um, então não tenho certeza de como este documento ajuda neste caso.

Christian Clason

@ChristianClason: Certo! Eu apenas percebo isso. Obrigado por apontar isso!

skyuuka