Existem atalhos para aproximar numericamente sistemas de equações diferenciais ordinárias quando autônomos?

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Os algoritmos existentes para resolver EDOs manipulam funções , em que . Mas em muitos sistemas físicos, a equação diferencial é autônoma, então , , com deixado de fora. Com essa suposição simplificadora, que melhorias podem ser vistas nos métodos numéricos existentes? Por exemplo, se , o problema se transforma em e nos voltamos para uma classe de algoritmos totalmente diferente para integrar integrais unidimensionais. Paradydt=f(y,t)yRndydt=f(y)yRntn=1t=dyf(y) , a melhoria máxima possível é reduzir a dimensão de yn>1ypor 1, porque o caso dependente do tempo pode ser simulado anexando a y , alterando o domínio de y de R n para R n + 1 .tyyRnRn+1

procrastinar no trabalho real
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Respostas:

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Eu diria que uma melhoria significativa é que, no escopo das abordagens de escalonamento temporal, em que você propaga ynyn+1=U(yn) usando um mapa de solução U , é possível determinar o propagador (ou pelo menos partes de ) uma vez e, em seguida, reutilize-o em todas as etapas.

Por exemplo, no caso linear, você teria ty=Ay , onde A é uma matriz. O operador de solução U(y)=exp(AΔt)y consiste principalmente em uma matriz exponencial. Para sistemas autônomos, essa avaliação exponencial de matriz dispendiosa é necessária apenas uma vez para a propagação completa - em contraste com um sistema dependente do tempo, no qual você deve executar essa avaliação a cada etapa do tempo.

Para sistemas não lineares, não é tão fácil, mas, dependendo do algoritmo, certas avaliações dispendiosas podem ser reutilizadas.

carlosvalderrama
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