Estabilidade numérica de polinômios Zernike de ordem superior

Estou tentando calcular momentos Zernike de ordem superior (por exemplo m=0, n=46) para alguma imagem. No entanto, estou com um problema em relação ao polinômio radial (consulte a Wikipedia ). Este é um polinômio definido no intervalo [0 1]. Veja o código MATLAB abaixo

function R = radial_polynomial(m,n,RHO)
    R = 0;
    for k = 0:((n-m)/2)        
        R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ...
            ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ...
            .*RHO.^(n-2.*k);
    end
end

No entanto, isso obviamente tem problemas numéricos próximos RHO > 0.9.

Eu tentei refatorá-lo para polyval pensar que poderia ter alguns algoritmos melhores nos bastidores, mas isso não resolveu nada. Convertê-lo em um cálculo simbólico criou o gráfico desejado, mas foi incrivelmente lento mesmo para um gráfico simples como o mostrado.

Existe uma maneira numericamente estável de avaliar esses polinômios de alta ordem?

Isso é implementado no seguinte script do Octave:

clear                                     % Tested with Octave instead of Matlab
N = 120;
n_r = 1000;
R = cell(N+1,N+1);
rho = [0:n_r]/n_r;
rho_x_2 = 2*[0:n_r]/n_r;

R{0+1,0+1} = ones(1,n_r+1);               % R^0_0  Unfortunately zero based cell indexing is not possible
R{1+1,1+1} = R{0+1,0+1}.*rho;             % R^1_1  ==>  R{...+1,...+1} etc.
for n = 2:N,
    if bitget(n,1) == 0,                  % n is even
        R{0+1,n+1} = -R{0+1,n-2+1}+rho_x_2.*R{1+1,n-1+1};                % R^0_n
        m_lo = 2;
        m_hi = n-2;
    else
        m_lo = 1;
        m_hi = n-1;
    end
    for m = m_lo:2:m_hi,
        R{m+1,n+1} = rho.*(R{m-1+1,n-1+1}+R{m+1+1,n-1+1})-R{m+1,n-2+1};  % R^m_n
    end
    R{n+1,n+1} = rho.*R{n-1+1,n-1+1};                                    % R^n_n
end;


Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);
m = 22;
n = 112;
figure
plot(rho,Z(m,n,rho))
hold on
plot(rho,R{m+1,n+1},'r');
xlabel("rho")
ylabel("R^{22}_{112}(rho)")
legend("via Jacobi","recursive");
%print -djpg plt.jpg

m = 0;
n = 46;
max_diff_m_0_n_46 = norm(Z(m,n,rho)-R{m+1,n+1},inf)

$m = 22$$n = 112$$\rho = 0.7$

$m = 0$$n = 46$1.4e-10

Uma solução possível (sugerida por @gammatester) é usar polinômios de Jacobi. Isso contorna o problema do cancelamento catastrófico ao adicionar grandes coeficientes polinomiais por avaliação polinomial "ingênua".

O polinômio radial de Zernike pode ser expresso pelos polinômios de Jacobi da seguinte forma (consulte a equação (6) )

No entanto, no MATLAB, o uso de jacobiP(n,a,b,x)é inaceitavelmente lento para vetores / matrizes grandes de x=rho. A jacobiPfunção é realmente parte da Symbolic Toolbox e a avaliação do polinômio é adiada para o mecanismo simbólico, que troca a velocidade por precisão arbitrária. Uma implementação manual dos polinômios de Jacobi é, portanto, necessária.

$\alpha=m$$\beta=0$$n^*=(n-m/2)$$s$

No MATLAB, isto traduz-se (Jacobi p polícia prosseguiu d EPARTAMENTO P olynomial, ' D ouble' implementação)

function P = jacobiPD(n,a,b,x)
    P = 0;
    for  s  0:n
        P = P + ...
            1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) * ...
            ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s;
    end
    P = P*factorial(n+a) * factorial(n+b);
end

O polinômio radial de Zernike real é assim (para m=abs(m))

Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);

Nota: essa resposta automática é apenas uma solução prática; fique à vontade para marcar outra resposta que explique por que isso funciona.