Resolvendo um sistema linear com argumentos de matriz

Todos conhecemos os muitos métodos computacionais para resolver o sistema linear padrão

$$Ax=b.$$ No entanto, estou curioso para saber se existem métodos computacionais "padrão" para resolver um sistema linear mais geral (dimensão finita) da forma

$$LA=B,$$ onde, digamos,$A$ é umamatriz$m_1\times n_1$ ,$B$ é umamatriz$m_2\times n_2$ e$L$ é um operador linear que leva$m_1\times n_1$ matrizes para$m_2\times n_2$ matrizes, o quenão envolve a vetorização das matrizes, ou seja, a conversão de tudo para o formato padrão$Ax=b$ .

A razão pela qual pergunto é que preciso resolver a seguinte equação para $u$ :

$$(R^*R+\lambda I)u=f$$ onde$R$ é a 2d transformada de radônio,$R^*$ é adjacente e$u$ e$f$ são 2d matrizes (imagens). É possível vetorizar essa equação, mas é uma dor, especialmente se formos para o 3D.

De um modo mais geral, e as matrizes $nD$ ? Por exemplo, resolver $LA=B$ onde $A$ e $B$ são matrizes 3D (também precisarei fazer isso com a transformação Radon em algum momento).

Agradecemos antecipadamente e sinta-se à vontade para me enviar para outro StackExchange, se achar necessário.

$\mathbb{R}^n$$\langle y, x\rangle\triangleq \mathop{\textrm{Re}}(y^Hx)$

Uma coisa que você deve ter cuidado ao implementar o CG (ou abordagens iterativas semelhantes) com operadores lineares gerais é implementar corretamente o acessório do seu operador linear. Ou seja, as pessoas geralmente acertam , mas cometem um erro ao implementar .z = F ∗ ( y $y=F(x)$$z=F^*(y)$

Eu recomendo implementar um teste simples que aproveite a seguinte identidade: para qualquer e conformidade , Portanto, o que você faz é gerar valores aleatórios de e , executá-los através de suas operações avançadas e adjuntas, respectivamente, e calcular os dois produtos internos acima. Verifique se eles correspondem à precisão razoável e repita algumas vezes.y ⟨ y , F ( x ) ⟩ = ⟨ F * ( y ) , x ⟩ . x $x$$y$

$$\langle y, F(x) \rangle = \langle F^*(y), x \rangle.$$ $x$$y$

EDIT: o que você faz se o seu operador linear é simétrico? Bem, você também precisa verificar essa simetria. Portanto, use o mesmo teste, apenas observando que --- aplica a mesma operação a e . Obviamente, o OP possui um operador assimétrico e um simétrico para lidar com ... x $F=F^*$$x$$y$

Como se vê, porque meu sistema é simétrico e definido positivamente (como meu operador linear é escrito como ), o gradiente conjugado pode ser adaptado para resolver iterativamente esse tipo de equação. A única modificação ocorre ao calcular produtos internos - ou seja, um cálculo típico de produto interno no CG se parece com ou . Na versão modificada, usamos o produto interno Frobenius, que pode ser calculado somando as entradas do produto Hadamard (pointwise). Ou seja,r T k r k p T k A p $R^*R+\lambda I$$r_k^Tr_k$$p_k^TAp_k$

$$\langle A,B\rangle=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$$

Eu suspeito que isso funcionará perfeitamente quando eu atualizar para matrizes 3D, embora ainda não tenha visto o produto interno Frobenius definido em matrizes 3D (trabalharei com a premissa de que posso somar novamente o produto pontual).

Eu ainda estaria interessado em métodos mais gerais, se alguém souber de algum!