Galerkin / Poisson / Fenics descontínuo

Estou tentando resolver a equação de Poisson 2D usando o método Descontinuous Galerkin (DG) e a seguinte discretização (eu tenho um arquivo png, mas não tenho permissão para carregá-lo, desculpe):

Equação:

$$\nabla \cdot( \kappa \nabla T) + f = 0$$

Novas equações:

$$q = \kappa \nabla T\\\nabla \cdot q = -f$$

Forma fraca com fluxos numéricos e \ hat {q} :$\hat{T}$$\hat{q}$

$$\int q \cdot w dV = - \int T \nabla \cdot (\kappa w) dV +  \int \kappa \hat{T} n \cdot w dS\\ \int q \cdot \nabla v dV = \int v f dV +  \int \hat{q} \cdot n v dS$$

Fluxos numéricos (método IP):

$$\hat{q} = \{\nabla T\} – C_{11} [T]\\ \hat{T} = \{T\}$$

com

$$\{T\} = 0.5 (T^+ + T^-)\\ [T] = T^+ n^+ + T^- n^-$$

Eu escrevi um script python fenics simples para resolver a equação. A solução que recebo não é boa. Eu realmente apreciaria se alguém familiarizado com o método DG pudesse dar uma rápida olhada no script abaixo e me dizer o que estou fazendo de errado.

A formulação contínua de galerkin que adicionei no script fornece uma boa solução.

Muito obrigado antecipadamente.

from dolfin import *

method = "DG" # CG / DG

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquare(32, 32)
V_q = VectorFunctionSpace(mesh, method, 2)
V_T = FunctionSpace (mesh, method, 1)
W = V_q * V_T

# Define test and trial functions
(q, T) = TrialFunctions(W)
(w, v) = TestFunctions(W)

# Define mehs quantities: normal component, mesh size
n = FacetNormal(mesh)

# define right-hand side
f = Expression("500.0*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)")

# Define parameters
kappa = 1.0

# Define variational problem
if method == 'CG':
  a = dot(q,w)*dx \
       + T*div(kappa*w)*dx \
       + div(q)*v*dx

elif method == 'DG':
  #modele = "IP"
  C11 = 1.

  a = dot(q,w)*dx + T*div(kappa*w)*dx \
      - kappa*avg(T)*dot(n('-'),w('-'))*dS \
                                           \
      + dot(q,grad(v))*dx \
      - dot( avg(grad(T)) - C11 * jump(T,n) ,n('-'))*v('-')*dS

L = -v*f*dx

# Compute solution
qT = Function(W)
solve(a == L, qT)

# Project solution to piecewise linears
(q , T) = qT.split()

# Save solution to file
file = File("poisson.pvd")
file << T

# Plot solution
plot(T); plot(q)
interactive()

Para implementar seu problema no FEniCS, você deve substituir as integrais em termos de limites por integrais em termos de arestas. Isso introduz saltos / médias nas funções de teste, que você perde totalmente em sua implementação. Portanto, o sistema não é invertível e sua solução não parece correta. A equação (3.3) em Arnold et. al. 2002 fornece uma ferramenta para reescrever a forma fraca:

$$\sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} q_K \cdot n_K \phi_K\,ds=\int_\Gamma [q] \cdot \{\phi\}\,ds + \int_{\Gamma^0} \{q\} \cdot [\phi]\,ds$$

Aqui é a união de suas arestas e o mesmo sem limites.$\Gamma$$\Gamma^0$

Agora seus fluxos são de valor único, o que significa que você pode soltar os saltos de seus fluxos. Portanto,

$$\sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} \hat{q}\cdot n_K v_K\,ds=\int_{\Gamma^0} \hat{q} \cdot [v]\,ds + \int_{\partial\Omega} \hat{q} \cdot n v\,ds\\ \sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} w\cdot n_K \kappa\hat{T}\,ds=\int_{\Gamma} [w] \cdot \kappa\hat{T}\,ds$$

Isso nos leva à seguinte modificação do seu código:

C11 = 1.
qhat = avg(grad(T)) - C11 * kappa*jump(T,n)
qhatbnd = grad(T) - C11 * kappa*T*n

a = dot(q,w)*dx + T*div(kappa*w)*dx \
  - kappa*avg(T)*jump(w,n)*dS \
  - kappa*T*dot(w,n)*ds \
  - dot(q,grad(v))*dx \
  + dot( qhat, jump(v,n))*dS \
  + dot( qhatbnd, v*n)*ds

Ainda não tive tempo para realmente tentar isso, portanto, esteja ciente dos possíveis erros de sinal etc. Mas espero que isso ajude de qualquer maneira.

Referências: DN Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, LD Marini: Análise unificada de métodos descontínuos de Galerkin para problemas elípticos SIAM J. Num. Anal, 39 (2002), 1749-1779

Sim, estava realmente faltando alguma coisa!

Está funcionando bem agora.

Muito obrigado pela sua ajuda!