Pressão como multiplicador de Lagrange

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Nas equações incompressíveis de Navier-Stokes,

ρ(ut+(u)u)=p+μΔu+fu=0
o termo pressão é frequentemente referido como um multiplicador de Lagrange que impõe a condição de incompressibilidade.

Em que sentido isso é verdade? Existe uma formulação das equações incompressíveis de Navier-Stokes como um problema de otimização sujeito à restrição de incompressibilidade? Em caso afirmativo, existe um análogo numérico no qual as equações do fluxo de fluido incompressível são resolvidas dentro de uma estrutura de otimização?

Ben
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Respostas:

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μΔu+p=fu=0
minuμ2u2(f,u)so thatu=0.

Essa equivalência entre problemas não é explorada em nenhum esquema numérico (que eu saiba), mas é uma ferramenta importante na análise porque mostra que as equações de Stokes são essencialmente a equação de Poisson em um subespaço linear. O mesmo vale para as equações dependentes do tempo de Stokes (que corresponde à equação do calor no subespaço) e pode ser estendido às equações de Navier-Stokes.

Wolfgang Bangerth
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Obrigado por uma ótima resposta. Você sabe se essa formulação pode ser estendida ao caso dependente do tempo?
Ben
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Sim, como eu disse, isso leva a uma equação de calor no subespaço das funções livres de divergência.
Wolfgang Bangerth
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Desculpe, eu deveria ter sido mais claro. Existe uma maneira de reformular as equações dependentes do tempo de Stokes (ou Navier-Stokes) como um problema de otimização, possivelmente de uma funcionalidade integrada ao longo do tempo?
Ben
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Não é um problema de otimização - a solução da equação do calor não minimiza nada (embora seja o ponto estacionário de uma função lagrangiana). Mas você pode formular as equações de Stokes da seguinte maneira: Encontre para que para todos sujeito à restrição de que . Observe que eu escolhi o espaço de teste menor que o espaço de teste e, portanto, os lados esquerdo e direito da equação variacional não serão iguais. A diferença é a pressão. ( u t , φ ) + ( u , φ ) = ( F , φ ) φ { v H div : v = 0 } u = 0uHdiv(ut,φ)+(u,φ)=(f,φ)φ{vHdiv:v=0}u=0
Wolfgang Bangerth