Pressão como multiplicador de Lagrange

Nas equações incompressíveis de Navier-Stokes,

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$ o termo pressão é frequentemente referido como um multiplicador de Lagrange que impõe a condição de incompressibilidade.

Em que sentido isso é verdade? Existe uma formulação das equações incompressíveis de Navier-Stokes como um problema de otimização sujeito à restrição de incompressibilidade? Em caso afirmativo, existe um análogo numérico no qual as equações do fluxo de fluido incompressível são resolvidas dentro de uma estrutura de otimização?

optimization fluid-dynamics navier-stokes incompressible Ben
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- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Essa equivalência entre problemas não é explorada em nenhum esquema numérico (que eu saiba), mas é uma ferramenta importante na análise porque mostra que as equações de Stokes são essencialmente a equação de Poisson em um subespaço linear. O mesmo vale para as equações dependentes do tempo de Stokes (que corresponde à equação do calor no subespaço) e pode ser estendido às equações de Navier-Stokes.

Wolfgang Bangerth
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Obrigado por uma ótima resposta. Você sabe se essa formulação pode ser estendida ao caso dependente do tempo?

Ben

Sim, como eu disse, isso leva a uma equação de calor no subespaço das funções livres de divergência.

Wolfgang Bangerth

Desculpe, eu deveria ter sido mais claro. Existe uma maneira de reformular as equações dependentes do tempo de Stokes (ou Navier-Stokes) como um problema de otimização, possivelmente de uma funcionalidade integrada ao longo do tempo?

Ben

Não é um problema de otimização - a solução da equação do calor não minimiza nada (embora seja o ponto estacionário de uma função lagrangiana). Mas você pode formular as equações de Stokes da seguinte maneira: Encontre para que para todos sujeito à restrição de que . Observe que eu escolhi o espaço de teste menor que o espaço de teste e, portanto, os lados esquerdo e direito da equação variacional não serão iguais. A diferença é a pressão.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

Wolfgang Bangerth

Pressão como multiplicador de Lagrange

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